设F1、F2为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若PF12PF2的最小值恰是实轴长的4倍，则该双曲线离心率的取值范围是______．

题型：不详难度：来源：

设F₁、F₂为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若

PF12

PF2

的最小值恰是实轴长的4倍，则该双曲线离心率的取值范围是______．

答案

由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a．
设|PF₂|=t，则|PF₁|=2a+t，
所以

P  F 21

PF2

=

4a2+4at+t2

t

=

4a2

t

+t+4a≥2

4a2 t ×t

+4a=8a，
当且仅当 t=2a时，等号成立．
因为P为双曲线右支上任一点，
所以t≥c-a，
所以2a≥c-a，
所以e=

c

a

≤3．
又因为 e＞1，
所以e的范围为 （1，3]．
故答案为：（1，3]．