设F1、F2为双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上任一点,若PF12PF2的最小值恰是实轴长的4倍,则该双曲线离心率的取值范围是______.
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设F1、F2为双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上任一点,若PF12PF2的最小值恰是实轴长的4倍,则该双曲线离心率的取值范围是______.
题型:不详
难度:
来源:
设F
1
、F
2
为双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上任一点,若
P
F
1
2
P
F
2
的最小值恰是实轴长的4倍,则该双曲线离心率的取值范围是______.
答案
由双曲线的定义可得|PF
1
|-|PF
2
|=2a.
设|PF
2
|=t,则|PF
1
|=2a+t,
所以
P
F
21
P
F
2
=
4
a
2
+4at+
t
2
t
=
4
a
2
t
+t+4a≥2
4
a
2
t
×t
+4a=8a,
当且仅当 t=2a时,等号成立.
因为P为双曲线右支上任一点,
所以t≥c-a,
所以2a≥c-a,
所以e=
c
a
≤3.
又因为 e>1,
所以e的范围为 (1,3].
故答案为:(1,3].
举一反三
以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个内角为120°,则双曲线的离心率为( )
A.
3
2
2
B.
4
2
3
C.
6
D.
6
2
题型:宜宾模拟
难度:
|
查看答案
已知双曲线
x
2
4
-
y
2
b
2
=1(b>0)的离心率为2,则它的一焦点到其中一条渐近线的距离为______.
题型:温州一模
难度:
|
查看答案
过双曲线
x
2
a
2
-
y
2
5-
a
2
=1(a>0)
右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值范围为( )
A.
(
2,
5)
B.
(
5
,
10
)
C.
(1,
2
)
D.
(5,5
2
)
题型:辽宁模拟
难度:
|
查看答案
已知双曲线C的离心率为
2
,且过点(4,-
10
)
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若点M(3,m)在双曲线C上,求证:MF
1
⊥MF
2
;
(3)求△F
1
MF
2
的面积.
题型:不详
难度:
|
查看答案
方程
x
2
cos2010°
-
y
2
sin2010°
=1
所表示的曲线为( )
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在y轴上的椭圆
C.焦点在x轴上的双曲线
D.焦点在y轴上的双曲线
题型:西安模拟
难度:
|
查看答案
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