求证:双曲线xy=k(k≠0)上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为常数.并说明你的证明中的主要步骤(三步).
题型:不详难度:来源:
求证:双曲线xy=k(k≠0)上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为常数.并说明你的证明中的主要步骤(三步). |
答案
证明:设曲线xy=k(k≠0)上任意一点的坐标是P(x0,y0), 由题意可得:xy=k可以变形为:y=, 对函数y=求导数可得 y′=-, 所以切线的方程是 y-y0=-(x-x0). 因为x0y0=k,可以得出切线在x轴与y轴的截距分别是x截距=x0+-=2x0, y截距=y0+==, 所以根据三角形的面积公式可得:所求三角形的面积为2k, 所以双曲线xy=k(k≠0)上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为常数. |
举一反三
是否存在同时满足下列条件的双曲线?若存在,请求出其方程,若不存在请说明理由. (1)中心在原点,准线平行于X轴; (2)离心率e=; (3)点A(0,5)到双曲线上的动点P的最小值为2. |
已知双曲线与椭圆+=1共焦点,且以y=±x为渐近线,求双曲线的标准方程和离心率. |
中心在原点,一个焦点是(-5,0),一条渐近线是直线4x-3y=0的双曲线方程是______. |
若方程+=1表示的曲线的离心率是,则t=______. |
最新试题
热门考点