已知双曲线C:x24-y2=1,P为C上的任意点.(1)求证:点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数;(2)设点A的坐标为(3,0),求|PA|的最小
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已知双曲线C:x24-y2=1,P为C上的任意点.(1)求证:点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数;(2)设点A的坐标为(3,0),求|PA|的最小
题型:上海
难度:
来源:
已知双曲线
C:
x
2
4
-
y
2
=1
,P为C上的任意点.
(1)求证:点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数;
(2)设点A的坐标为(3,0),求|PA|的最小值.
答案
(1)设P(x
1
,y
1
)是双曲线上任意一点,
该双曲的两条渐近线方程分别是x-2y=0和x+2y=0.
点P(x
1
,y
1
)到两条渐近线的距离分别是
|
x
1
-2
y
1
|
5
和
|
x
1
+2
y
1
|
5
,
它们的乘积是
|
x
1
-2
y
1
|
5
•
|
x
1
+2
y
1
|
5
=
|
x
1
2
-4
y
1
2
|
5
=
4
5
.
点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数.
(2)设P的坐标为(x,y),则|PA|
2
=(x-3)
2
+y
2
=
(x-3
)
2
+
x
2
4
-1
=
5
4
(x-
12
5
)
2
+
4
5
∵|x|≥2,∴当
x=
12
5
时,|PA|
2
的最小值为
4
5
,
即|PA|的最小值为
2
5
5
.
举一反三
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题型:不详
难度:
|
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5
2
;
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题型:不详
难度:
|
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x
2
64
+
y
2
39
=1
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y=±
4
3
x
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