已知双曲线C:x24-y2=1,P为双曲线C上的任意一点.(1)写出双曲线的焦点坐标和渐近线方程;(2)求证:点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.
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已知双曲线C:x24-y2=1,P为双曲线C上的任意一点.(1)写出双曲线的焦点坐标和渐近线方程;(2)求证:点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.
题型:不详
难度:
来源:
已知双曲线
C:
x
2
4
-
y
2
=1
,P为双曲线C上的任意一点.
(1)写出双曲线的焦点坐标和渐近线方程;
(2)求证:点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.
答案
(1)依题意,双曲线的两焦点F
1
(-
5
,0),F
2
(
5
,0),两条渐近线方程分别是x-2y=0和x+2y=0.
(2)设P(x
1
,y
1
)是双曲线上任意一点,该点P(x
1
,y
1
)到两条渐近线的距离分别是
|
x
1
-2
y
1
|
5
和
|
x
1
+2
y
1
|
5
,
∵P(x
1
,y
1
)为双曲线C上的任意一点,
∴
x
1
2
-4
y
1
2
=4,
∴它们的乘积是
|
x
1
-2
y
1
|
5
•
|
x
1
+2
y
1
|
5
=
x
1
2
-
4y
1
2
5
=
4
5
.
∴点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数.
举一反三
双曲线3my
2
-mx
2
=3的一个焦点是(0,2),则m的值是______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
与双曲线x
2
-4y
2
=4有共同的渐近线,并且经过点(2,
5
)的双曲线方程是______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知抛物线y
2
=2px的准线与双曲线x
2
-y
2
=2的左准线重合,则p的值为______.
题型:江苏一模
难度:
|
查看答案
设
a
与
b
的夹角为θ,
a
=(3,3),2
b
-
a
=(-1,1),则cosθ=______
题型:昌图县模拟
难度:
|
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已知F
1
、F
2
是双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的两焦点,以线段F
1
F
2
为边作正三角形,若双曲线恰好平分正三角形的另两边,则双曲线的离心率是______.
题型:不详
难度:
|
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