(1)设A(x1,y1),B(x2,y2). ∵直线l斜率为1且过焦点F(,0),∴直线l的方程为y=x-. 联立,消去y得到关于x的方程x2-3px+=0, 由题意,△=9p2-p2>0. 由根与系数的关系得x1+x2=3p,x1x2=. 由抛物线的定义可得:|AB|=xx1+x2+p=4p,又|AB|=8,∴4p=8,∴p=2. 因此所求的抛物线方程为y2=4x. (2)由题意可知:当过点C的切线与AB平行时三角形ABC的面积最大, 设此切线为y=x+t,与抛物线方程联立得,消去y得到关于x的方程x2+(2t-2p)x+t2=0, ∴△=(2tt-2p)2-4t2=0,解得t=,∴切线为y=x+. 因此切线与直线AB的距离d==. ∴△ABC的最大面积=××4p=p2. (3)设A(,y1),B(,y2),P(,y0). 则直线PA的方程为y-y0=(x-),化为y-y0=(x-), 令x=-,则yM=, 同理可得yN=, ∴yM•yN=y02y1y2-p2y0(y1+y2)+p4 | y02+y0(y1+y2)+y1y2 | , 由(1)可得:y2-2py-p2=0, ∴y1+y2=2p,y1y2=-p2. ∴yM•yN=-y02p2-2p3y0+p4 | y02+2py0-p2 | =-p2为定值. |