解:(1)依题意,设AB所在直线方程为y=kx+m,抛物线方程为x2=2py(p>0), 且A(x1,y1),B(x2,y2), 由题设知x1>0,x2<0, ∴|x1|-|x2|=4k,即x1+x2=4k, 由消去y并整理,得x2-2pkx-2pm=0, ∴x1+x2=2pk=4k, ∴p=2 故所求抛物线方程为x2=4y。 (2)由(1)得,求导数得 设 则过抛物线上C,D两点的切线方程分别为
即 联立上述两个方程,得 ∴两条切线的交点M的坐标为 设CD所在直线方程为y=nx+1,代入x2=4y,得x2-4nx-4 =0 ∴x3x4=-4, ∴M的坐标为 故点M的轨迹方程为y=-1 又∵ ∴
而 ∴。 |