抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在y轴的负半轴上,过点M(0,-2)作直线l与抛物线C交于A,B两点,且满足=(-4,-12)。
(1)求直线l和抛物线C的方程;
(2)当抛物线C上一动点P从点A向点B运动时,求△ABP的面积的最大值;
(3)在抛物线C上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,请说明理由。
解:(1)由题意可设所求直线l的方程为y=kx-2,所求抛物线的方程为,由,消去y得:,
设点A(x1,y1),B(x2,y2),
则,
∴
∵,
∴,
解得,
故直线l的方程为y=2x-2,
抛物线的方程为x2=-2y;
(2)据题意,当抛物线过点P的切线m与直线l平行时,△ABP的面积最大,
此时切线m的方程为y=2x+b,由消去y,整理得:,
∵,
∴b=2,
m的方程为y=2x+2,即y=2x+2,
此时点P到直线l的距离为,
由消去y得:
故,
所以△ABP的最大面积为=;
(3)在抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点,
假设在抛物线C存在相异两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线l对称,
则直线AB的方程为
由,消去y得:,,
于是可得AB的中点M的坐标为(),又点M在直线l上,所以,即,AB的方程为,而此时△=7>0,即直线AB与抛物线C有两个相异公共点,
综上所述,在抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点。
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