在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于A、B两点。(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求△ANB面积的最小

在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于A、B两点。(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求△ANB面积的最小

题型:湖北省高考真题难度:来源:
在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于A、B两点。
(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求△ANB面积的最小值;
(2)是否存在垂直于y轴的直线l,使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由。
答案
解:(1)依题意,点N的坐标为
可设
直线AB的方程为,与联立得
消去y得
由韦达定理得
于是


∴当时,
(2)假设满足条件的直线l存在,其方程为的中点为
l与AC为直径的圆相交于点P,Q,
PQ的中点为H,
点的坐标为





,得,此时为定值,
故满足条件的直线l存在,其方程为
即抛物线的通径所在的直线。
举一反三
在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于A、B两点。
(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求△ANB面积的最小值;
(2)是否存在垂直于y轴的直线l,使得l被以AC为直径的圆截得的张长恒为定值?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由。
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已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于[     ]
A.3
B.4
C.
D.
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已知抛物线y2=x和三个点M(x0,y0)、P(0,y0)、N(-x0,y0)(y0≠x02,y0>0),过点M的一条直线交抛物线于A、B两点,AP、BP的延长线分别交曲线C于E、F,
(1)证明E、F、N三点共线;
(2)如果A、B、M、N四点共线,问:是否存在y0,使以线段AB为直径的圆与抛物线有异于A、B的交点?如果存在,求出y0的取值范围,并求出该交点到直线AB的距离;若不存在,请说明理由.
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过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾角为30°的直线,与抛物线分别交于A、B两点(A在y轴左侧),则(    )。
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设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(    )
A.
B.[-2,2]
C.[-1,1]
D.[-4,4]
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