如图,已知两条抛物线和,过原点的两条直线和,与分别交于两点,与分别交于两点.(1)证明:(2)过原点作直线(异于,)与分别交于两点.记与的面积分别为与,求的值.

如图,已知两条抛物线和,过原点的两条直线和,与分别交于两点,与分别交于两点.(1)证明:(2)过原点作直线(异于,)与分别交于两点.记与的面积分别为与,求的值.

题型:不详难度:来源:
如图,已知两条抛物线,过原点的两条直线分别交于两点,分别交于两点.
(1)证明:
(2)过原点作直线(异于)与分别交于两点.记的面积分别为,求的值.

答案
(1);(2).
解析

试题分析:(1)要证明两直线平行,可以利用直线的方程与抛物线联立,得出,证明,则.;(2)因为,同理可得.由.因此,由(1)中的.故.
(1)证:设直线的方程分别为,则
,得
,得.
同理可得
所以

,所以.
(2)解:由(Ⅰ)知,同理可得.
所以.因此.又由(1)中的.
.
举一反三
在平面直角坐标系中,点到点的距离比它到轴的距离多1,记点的轨迹为.
(1)求轨迹为的方程;
(2)设斜率为的直线过定点,求直线与轨迹恰好有一个公共点,两个公共点,三个公共点时的相应取值范围.
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如图,正方形和正方形的边长分别为,原点的中点,抛物线经过两点,则.

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已知点在抛物线C:的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为(    )
A.B.C.D.

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设F为抛物线C:的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则
△OAB的面积为(  )
A.B.C.D.

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已知点在抛物线C:的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为(    )
A.B.C.D.

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