已知抛物线:和:的焦点分别为,交于两点(为坐标原点),且.(1)求抛物线的方程;(2)过点的直线交的下半部分于点,交的左半部分于点,点坐标为,求△面积的最小值.

已知抛物线:和:的焦点分别为,交于两点(为坐标原点),且.(1)求抛物线的方程;(2)过点的直线交的下半部分于点,交的左半部分于点,点坐标为,求△面积的最小值.

题型:不详难度:来源:
已知抛物线的焦点分别为交于两点(为坐标原点),且.
(1)求抛物线的方程;
(2)过点的直线交的下半部分于点,交的左半部分于点,点坐标为,求△面积的最小值.
答案
(1);(2)8.
解析

试题分析:本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、向量垂直的充要条件、两点间距离公式、三角形面积公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用抛物线的标准方程得到焦点的坐标,从而得到向量坐标,联立2个抛物线方程,解方程组,可求出A点坐标,从而得到向量的坐标,由于,所以,利用这个方程解出P的值,从而得到抛物线的方程;第二问,先设出过点O的直线方程,直线和抛物线联立,得到M点坐标,直线和抛物线联立得到N点坐标,由于,利用两点间距离公式得到3个边长,再利用基本不等式求面积的最小值.
试题解析:(1)由已知得:,∴       1分
联立解得,即
                                     3分
,∴ ,即,解得,∴的方程为.                                     5分
『法二』设,有①,由题意知,,∴                                          1分
,∴ ,有
解得,                                           3分
将其代入①式解得,从而求得
所以的方程为.                                 5分
(2)设过的直线方程为
联立,联立      7分
在直线上,设点到直线的距离为,点到直线的距离为
                               8分


   10分       
当且仅当时,“”成立,即当过原点直线为时,11分
面积取得最小值.                          12分

『法二』联立
联立,                   7分
从而
到直线的距离,进而
                   9分
,有,    11分
,即时,
即当过原点直线为时,△面积取得最小值.                        12分
举一反三
抛物线的焦点坐标是(     )
A.B.C.(0,1)D.(1,0)

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已知点在抛物线上,且点到直线的距离为,则点 的个数为 (  )   
A.B.C.D.

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已知抛物线y2=2px过点M(2,2),则点M到抛物线焦点的距离为      
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已知抛物线方程为,则它的焦点坐标为(     )
A.B.
C.D.

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在平面直角坐标系中,已知定点F(1,0),点轴上运动,点轴上,点
为平面内的动点,且满足
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)设点是直线上任意一点,过点作轨迹的两条切线,切点分别为,设切线的斜率分别为,直线的斜率为,求证:
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