如图X15-3所示,已知圆C1:x2+(y-1)2=4和抛物线C2:y=x2-1,过坐标原点O的直线与C2相交于点A,B,定点M的坐标为(0,-1),直线MA,
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如图X15-3所示,已知圆C1:x2+(y-1)2=4和抛物线C2:y=x2-1,过坐标原点O的直线与C2相交于点A,B,定点M的坐标为(0,-1),直线MA,
题型:不详
难度:
来源:
如图X15-3所示,已知圆C
1
:x
2
+(y-1)
2
=4和抛物线C
2
:y=x
2
-1,过坐标原点O的直线与C
2
相交于点A,B,定点M的坐标为(0,-1),直线MA,MB分别与C
1
相交于点D,E.
(1)求证:MA⊥MB;
(2)记△MAB,△MDE的面积分别为S
1
,S
2
,若
=λ,求λ的取值范围.
答案
(1)见解析(2)
解析
(1)证明:设直线AB的方程为y=kx,A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
则
x
2
-kx-1=0,所以x
1
+x
2
=k,x
1
x
2
=-1.
又
·
=(x
1
,y
1
+1)·(x
2
,y
2
+1)=(k
2
+1)x
1
x
2
+k(x
1
+x
2
)+1=-k
2
-1+k
2
+1=0,
∴MA⊥MB.
(2)设直线MA的方程为y=k
1
x-1,MB的方程为y=k
2
x-1,k
1
k
2
=-1.
解得
或
∴A(k
1
,
-1),同理可得B(k
2
,
-1),
∴S
1
=
|MA||MB|=
|k
1
k
2
|.
又
解得
或
∴D
,同理可得E
.
∴S
2
=
|MD||ME|=
.
=λ=
=
≥
.故λ的取值范围是
.
举一反三
已知动圆
过定点(1,0),且与直线
相切.
(1)求动圆圆心
的轨迹方程;
(2)设
是轨迹
上异于原点
的两个不同点,直线
和
的倾斜角分别为
和
,①当
时,求证直线
恒过一定点
;
②若
为定值
,直线
是否仍恒过一定点,若存在,试求出定点的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,直线y=m与抛物线y
2
=4x交于点A,与圆(x-1)
2
+y
2
=4的实线部分交于点B,F为抛物线的焦点,则三角形ABF的周长的取值范围是 ( )
A.(2,4)
B.(4,6)
C.[2,4]
D.[4,6]
题型:不详
难度:
|
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抛物线
上一点
的纵坐标为4,则点
与抛物线焦点的距离为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
题型:不详
难度:
|
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抛物线
上的一点
到焦点的距离为1,则点
的纵坐标是
.
题型:不详
难度:
|
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如图,抛物线
的焦点为
,准线为
,经过
且斜率为
的直线与抛物线在
轴上方的部分相交于点
,
,垂足为
,则
的面积是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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