如图所示,已知抛物线方程为y2=4x,其焦点为F,准线为l,A点为抛物线上异于顶点的一个动点,射线HAE垂直于准线l,垂足为H,C点在x轴正半轴上,且四边形AH
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如图所示,已知抛物线方程为y2=4x,其焦点为F,准线为l,A点为抛物线上异于顶点的一个动点,射线HAE垂直于准线l,垂足为H,C点在x轴正半轴上,且四边形AH
题型:不详
难度:
来源:
如图所示,已知抛物线方程为y
2
=4x,其焦点为F,准线为l,A点为抛物线上异于顶点的一个动点,射线HAE垂直于准线l,垂足为H,C点在x轴正半轴上,且四边形AHFC是平行四边形,线段AF和AC的延长线分别交抛物线于点B和点D.
(1)证明:∠BAD=∠EAD;
(2)求△ABD面积的最小值,并写出此时A点的坐标.
答案
(1)见解析(2)16 ,(1,±2)
解析
(1)证明:由抛物线定义得|AH|=|AF|,∴∠AHF=∠AFH.
又∵四边形AHFC是平行四边形,∴HF∥AC,∴∠AHF=∠EAD,∠AFH=∠BAD.
综上可得∠BAD=∠EAD.
(2)易知焦点F(1,0),准线l方程为x=-1,设A点坐标为
(a≠0),
则直线AB方程为4ax-(a
2
-4)y-4a=0(包括AB⊥x轴的情况),
结合y
2
=4x得4a
2
x
2
-(a
4
+16)x+4a
2
=0,
根据抛物线定义,可知|AB|=x
A
+x
B
+2=
+2=
+
+2≥4(当且仅当a=±2时等号成立).
另外,结合k
AD
=k
HF
=-
,可得直线AD方程为y=-
x+
+a,
结合y
2
=4x得ay
2
+8y-a
3
-8a=0,由于y
D
+y
A
=-
,
∴y
D
=-
-a.又∵∠BAD=∠EAD,
∴D点到直线AB的距离即为D点到直线AE的距离,即d=|y
D
-y
A
|=
≥8(当且仅当a=±2时等号成立).
∴S
△ABD
=
·|AB|·d≥
×4×8=16(当且仅当a=±2时取“=”号).
此时A点坐标为(1,±2).
举一反三
如图X15-3所示,已知圆C
1
:x
2
+(y-1)
2
=4和抛物线C
2
:y=x
2
-1,过坐标原点O的直线与C
2
相交于点A,B,定点M的坐标为(0,-1),直线MA,MB分别与C
1
相交于点D,E.
(1)求证:MA⊥MB;
(2)记△MAB,△MDE的面积分别为S
1
,S
2
,若
=λ,求λ的取值范围.
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已知动圆
过定点(1,0),且与直线
相切.
(1)求动圆圆心
的轨迹方程;
(2)设
是轨迹
上异于原点
的两个不同点,直线
和
的倾斜角分别为
和
,①当
时,求证直线
恒过一定点
;
②若
为定值
,直线
是否仍恒过一定点,若存在,试求出定点的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
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|
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如图,直线y=m与抛物线y
2
=4x交于点A,与圆(x-1)
2
+y
2
=4的实线部分交于点B,F为抛物线的焦点,则三角形ABF的周长的取值范围是 ( )
A.(2,4)
B.(4,6)
C.[2,4]
D.[4,6]
题型:不详
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|
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抛物线
上一点
的纵坐标为4,则点
与抛物线焦点的距离为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
题型:不详
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|
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抛物线
上的一点
到焦点的距离为1,则点
的纵坐标是
.
题型:不详
难度:
|
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