设直线l:x-y+m=0与抛物线C:y2=4x交于不同两点A,B,F为抛物线的焦点.(1)求△ABF的重心G的轨迹方程;(2)如果m=-2,求△ABF的外接圆的
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设直线l:x-y+m=0与抛物线C:y2=4x交于不同两点A,B,F为抛物线的焦点. (1)求△ABF的重心G的轨迹方程; (2)如果m=-2,求△ABF的外接圆的方程. |
答案
解析
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),F(1,0),重心G(x,y),
⇒y2-4y+4m=0, ∴Δ>0⇒m<1且m≠-1(A,B,F不共线), 故![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191024/20191024095537-82958.png) ∴重心G的轨迹方程为y= . (2)若m=-2,则y2-4y-8=0,设AB中点为(x0,y0,) ∴y0= =2,∴x0=y0-m=2-m=4, 那么AB的中垂线方程为x+y-6=0, 令△ABF的外接圆圆心为C(a,6-a), 又|AB|= |y1-y2|=4 ,C到AB的距离为d= ,∴|CA|=|CF|⇒(2 )2+ 2=(a-1)2+(6-a)2⇒a= , ∴C点的坐标为 ,∴|CF|2= 2+ 2= , ∴所求的圆的方程为 2+ 2= . |
举一反三
过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点.若|AF|=3, 则|BF|=________.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191024/20191024095532-80178.jpg) |
在抛物线y=2x2上有一点P,它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小,则点P的坐标是( ).
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191024/20191024095529-67324.jpg) A.(-2,1) | B.(1,2) | C.(2,1) | D.(-1,2) |
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设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A、B两点,点Q为线段AB的中点,若|FQ|=2,则直线l的斜率等于________. |
设F为抛物线 的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若 ,则 =( ) |
一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的方程是 .在杯内放入一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃球的半径r的范围是( ) A.0<r≤1 | B.0<r<1 | C.0<r≤2 | D.0<r<2 |
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