已知顶点在坐标原点,焦点在x轴正半轴的抛物线上有一点A(,m),A点到抛物线焦点的距离为1.(1)求该抛物线的方程;(2)设M(x0,y0)为抛物线上的一个定点
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已知顶点在坐标原点,焦点在x轴正半轴的抛物线上有一点A(,m),A点到抛物线焦点的距离为1.(1)求该抛物线的方程;(2)设M(x0,y0)为抛物线上的一个定点
题型:不详
难度:
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已知顶点在坐标原点,焦点在x轴正半轴的抛物线上有一点A(
,m),A点到抛物线焦点的距离为1.
(1)求该抛物线的方程;
(2)设M(x
0
,y
0
)为抛物线上的一个定点,过M作抛物线的两条互相垂直的弦MP,MQ,求证:PQ恒过定点(x
0
+2,-y
0
).
答案
(1)y
2
=2x (2)见解析
解析
(1)由题意可设抛物线的方程为y
2
=2px(p>0),则由抛物线的定义可得
+
=1,即p=1,
∴抛物线的方程为y
2
=2x.
(2)证明:由题意知,直线PQ与x轴不平行,设PQ所在直线方程为x=ay+n,代入y
2
=2x得y
2
-2ay-2n=0.
设P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),则y
1
+y
2
=2a,y
1
y
2
=-2n,
∵MP⊥MQ,∴k
MP
·k
MQ
=-1.
即
·
=-1,∴(y
1
+y
0
)(y
2
+y
0
)=-4.
即y
1
·y
2
+(y
1
+y
2
)y
0
+y
0
2
+4=0,
即(-2n)+2ay
0
+2x
0
+4=0,即n=ay
0
+x
0
+2.
∴直线PQ的方程为x=ay+ay
0
+x
0
+2,
即x=a(y+y
0
)+x
0
+2,它一定过定点(x
0
+2,-y
0
).
举一反三
如图,F为抛物线y
2
=4x的焦点,A,B,C在抛物线上,若
+
+
=0,则|
|+|
|+|
|=( )
A.6
B.4
C.3
D.2
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.已知直线
与抛物线
相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则实数k的值为 ( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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抛物线
的焦点坐标是( )
A.(0,
)
B.(
,0)
C.(1,0)
D.(0,1)
题型:不详
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已知直线l
1
:4x-3y+11=0和直线l
2
:x=-1,抛物线y
2
=4x上一动点P到直线l
1
和直线l
2
的距离之和的最小值是( )
A.2
B.3
C.
D.
题型:不详
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.过抛物线
的焦点F作倾斜角为
的直线交抛物线于A、B
两点,若线段AB的长为8,则
________________
题型:不详
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