如图,已知两条抛物线和,过原点的两条直线和,与分别交于两点,与分别交于两点.(1)证明:(2)过原点作直线(异于,)与分别交于两点.记与的面积分别为与,求的值.

如图,已知两条抛物线和,过原点的两条直线和,与分别交于两点,与分别交于两点.(1)证明:(2)过原点作直线(异于,)与分别交于两点.记与的面积分别为与,求的值.

题型:不详难度:来源:
如图,已知两条抛物线,过原点的两条直线分别交于两点,分别交于两点.
(1)证明:
(2)过原点作直线(异于)与分别交于两点.记的面积分别为,求的值.

答案
(1);(2).
解析

试题分析:(1)要证明两直线平行,可以利用直线的方程与抛物线联立,得出,证明,则.;(2)因为,同理可得.由.因此,由(1)中的.故.
(1)证:设直线的方程分别为,则
,得
,得.
同理可得
所以

,所以.
(2)解:由(Ⅰ)知,同理可得.
所以.因此.又由(1)中的.
.
举一反三
过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A、B两点,A、B在轴上的正射影分别为D、C。若梯形ABCD的面积为,则=      
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如图,线段y轴上一点所在直线的斜率为,两端点y轴的距离之差为.
(Ⅰ)求出以y轴为对称轴,过三点的抛物线方程;
(Ⅱ)过抛物线的焦点作动弦,过两点分别作抛物线的切线,设其交点为,求点的轨迹方程,并求出的值.
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在平面直角坐标系中,点到点的距离比它到轴的距离多1,记点的轨迹为.
(1)求轨迹为的方程;
(2)设斜率为的直线过定点,求直线与轨迹恰好有一个公共点,两个公共点,三个公共点时的相应取值范围.
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已知点在抛物线上,则点到直线的距离和到直线的距离之和的最小值为
A.B.C.D.

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抛物线的准线方程为  ;此抛物线的焦点是,则经过和点,且与准线相切的圆共有  个.
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