(1)设出直线 的方程,注意讨论斜率是否存在,与抛物线 联立,利用 ,转化为坐标运算,数量积为0,找到直线中两个参数的关系,即找到直线过定点;(2)在(1)的条件下, 把 用 代换,求出 中点 的坐标,用 表示,若存在以 为底边的等腰三角形 ,也就是 ,整理得关于 的方程,解方程就得到满足条件的三角形及其个数. (Ⅰ)设直线 的方程为 ,点 、 的坐标分别为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191024/20191024103514-93893.png) . 由 消 ,得 . 由 ,得 ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191024/20191024103516-35123.png) . ∵ ,∴ ,∴ .
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191024/20191024103517-18789.png) ∴ , ∴ 或 . ∴ 或 ,∵ 恒成立. ∴ . ∴直线 的方程为 ,∴直线 过定点 . ………………………………(6分) (Ⅱ)假设存在以 为底边的等腰三角形 ,由第(Ⅰ)问可知,将 用 代换得 直线 的方程为 .设点 、 的坐标分别为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191024/20191024103514-93893.png) . 由 消 ,得 . ∴ . ∵ 的中点坐标为 ,即 , ∵ ,∴ 的中点坐标为 . 由已知得 ,即 . 设 ,则 ,
在 上是增函数. 又![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191024/20191024103522-18925.png) , 在 内有一个零点. 函数 在 上有且只有一个零点,即方程 在 上有唯一实根. 所以满足条件的等腰三角形有且只有一个.……………………………………………………… (13分) |