(本小题满分13分)如图,已知抛物线,过点作抛物线的弦,.(Ⅰ)若,证明直线过定点,并求出定点的坐标;(Ⅱ)假设直线过点,请问是否存在以为底边的等腰三角形? 若

(本小题满分13分)如图,已知抛物线,过点作抛物线的弦,.(Ⅰ)若,证明直线过定点,并求出定点的坐标;(Ⅱ)假设直线过点,请问是否存在以为底边的等腰三角形? 若

题型:不详难度:来源:
(本小题满分13分)
如图,已知抛物线,过点作抛物线的弦,

(Ⅰ)若,证明直线过定点,并求出定点的坐标;
(Ⅱ)假设直线过点,请问是否存在以为底边的等腰三角形? 若存在,求出的个数?如果不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)直线过定点.;(Ⅱ)满足条件的等腰三角形有且只有一个.
解析
(1)设出直线的方程,注意讨论斜率是否存在,与抛物线联立,利用,转化为坐标运算,数量积为0,找到直线中两个参数的关系,即找到直线过定点;(2)在(1)的条件下,
代换,求出中点的坐标,用表示,若存在以为底边的等腰三角形,也就是,整理得关于的方程,解方程就得到满足条件的三角形及其个数.
(Ⅰ)设直线的方程为,点的坐标分别为.
,得.
,得,.
,∴,∴.


.
,∵恒成立. ∴.
∴直线的方程为 ,∴直线过定点. ………………………………(6分)
(Ⅱ)假设存在以为底边的等腰三角形,由第(Ⅰ)问可知,将代换得
直线的方程为.设点的坐标分别为.
,得.
  .
的中点坐标为,即
,∴的中点坐标为.
由已知得,即. 
,则
上是增函数.
内有一个零点.
函数上有且只有一个零点,即方程上有唯一实根.
所以满足条件的等腰三角形有且只有一个.……………………………………………………… (13分)
举一反三
在平面直角坐标系中,抛物线上纵坐标为2的一点到焦点的距离为3,则抛物线的焦点坐标为     
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抛物线=-2y2的准线方程是                .
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已知抛物线方程为,直线的方程为,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为,P到直线的距离为,则的最小值为(    )
A.B.C.D.

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以抛物线上的任意一点为圆心作圆与直线相切,这些圆必过一定点,则这一定点的坐标是(   )
A.B.(2,0)C.(4,0)D.

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是抛物线上一点,到该抛物线焦点的距离为,则点的横坐标为   .
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