设抛物线的焦点为,点,线段的中点在抛物线上.设动直线与抛物线相切于点,且与抛物线的准线相交于点,以为直径的圆记为圆.(1)求的值;(2)证明:圆与轴必有公共点;

设抛物线的焦点为,点,线段的中点在抛物线上.设动直线与抛物线相切于点,且与抛物线的准线相交于点,以为直径的圆记为圆.(1)求的值;(2)证明:圆与轴必有公共点;

题型:不详难度:来源:
设抛物线的焦点为,点,线段的中点在抛物线上.设动直线与抛物线相切于点,且与抛物线的准线相交于点,以为直径的圆记为圆
(1)求的值;
(2)证明:圆轴必有公共点;
(3)在坐标平面上是否存在定点,使得圆恒过点?若存在,求出的坐标;若不存在,说明理由.
答案
(1)1   (2)见解析    (3)存在,
解析

试题分析:(1)由抛物线方程求出焦点坐标,再由中点坐标公式求得FA的中点,由中点在抛物线上求得p的值;
(2)联立直线方程和抛物线方程,由直线和抛物线相切求得切点坐标,进一步求得Q的坐标(用含k的代数式表示),求得PQ的中点C的坐标,求出圆心到x轴的距离,求出,由半径的平方与圆心到x轴的距离的平方差的符号判断圆C与x轴的位置关系;
(3)法一、假设平面内存在定点M满足条件,设出M的坐标,结合(2)中求得的P,Q的坐标,求出向量 的坐标,由恒成立求解点M的坐标.
(1)利用抛物线的定义得,故线段的中点的坐标为,代入方程得,解得
(2)由(1)得抛物线的方程为,从而抛物线的准线方程为
得方程
由直线与抛物线相切,得      
,从而,即,       
,解得,         
的中点的坐标为
圆心轴距离
 
 
所圆与轴总有公共点.
(3)假设平面内存在定点满足条件,由抛物线对称性知点轴上,设点坐标为
由(2)知
 。
得,
所以,即
所以平面上存在定点,使得圆恒过点
举一反三
已知双曲线的离心率为2,有一个焦点与抛物线的焦点重合,则__________.
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已知点是抛物线上的一个动点,则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为                                  (     )
A.B.C.D.

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(本小题满分13分)
如图,已知抛物线,过点作抛物线的弦,

(Ⅰ)若,证明直线过定点,并求出定点的坐标;
(Ⅱ)假设直线过点,请问是否存在以为底边的等腰三角形? 若存在,求出的个数?如果不存在,请说明理由.
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在平面直角坐标系中,抛物线上纵坐标为2的一点到焦点的距离为3,则抛物线的焦点坐标为     
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抛物线=-2y2的准线方程是                .
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