设抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴,证明:直线AC经过原点O.

题型：不详难度：来源：

设抛物线y²=2px(p＞0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴,证明:直线AC经过原点O.

答案

详见解析

解析

试题分析：证明直线AC经过原点O，实质证明三点共线，即证直线与直线的斜率相等. 设A(x1,y1)，则只需证即可.利用三点共线,可用A(x1,y1)表示出点B纵坐标为，从而点C的坐标为(－,).因此直线CO的斜率为k===,所以直线AC经过原点O.
试题解析：证:如图所示,因为抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F(,0)，所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+       2分
代入抛物线方程得y2－2pmy－p2=0.
若记A(x1,y1)、B(x2,y2)，则y1、y2是该方程的两个根，所以y1y2=－p2    7分.
因为BC∥x轴，且点C在准线x=－上，所以点C的坐标为(－,y2).
故直线CO的斜率为k===,
即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.        12分