已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=- (p>2).若拋物线C:y2=2px上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2.(1)求抛物线C
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已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=- (p>2).若拋物线C:y2=2px上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2.(1)求抛物线C
题型:不详
难度:
来源:
已知直线
l
1
:4
x
-3
y
+6=0和直线
l
2
:
x
=-
(
p
>2).若拋物线
C
:
y
2
=2
px
上的点到直线
l
1
和直线
l
2
的距离之和的最小值为2.
(1)求抛物线
C
的方程;
(2)若拋物线上任意一点
M
处的切线
l
与直线
l
2
交于点
N
,试问在
x
轴上是否存在定点
Q
,使
Q
点在以
MN
为直径的圆上,若存在,求出点
Q
的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)
y
2
=4
x
(2)存在定点
Q
(1,0),使
Q
在以
MN
为直径的圆上.
解析
(1)由定义知
l
2
为抛物线的准线,抛物线焦点
F
,由抛物线定义知抛物线上点到直线
l
2
的距离等于其到焦点
F
的距离.
所以抛物线上的点到直线
l
1
和直线
l
2
的距离之和的最小值为焦点
F
到直线
l
1
的距离.
所以2=
,则
p
=2,所以抛物线方程为
y
2
=4
x
.
(2)设
M
(
x
0
,
y
0
),由题意知直线斜率存在,设为
k
,且
k
≠0,所以直线
l
方程为
y
-
y
0
=
k
(
x
-
x
0
),
代入
y
2
=4
x
消
x
得
ky
2
-4
y
+4
y
0
-
k
=0.
由
Δ
=16-4
k
(4
y
0
-
k
)=0,得
k
=
.
所以直线
l
方程为
y
-
y
0
=
(
x
-
x
0
),
令
x
=-1,又由
=4
x
0
,得
N
.
设
Q
(
x
1
,0)则
=(
x
0
-
x
1
,
y
0
),
=
.
由题意知
·
=0,即(
x
0
-
x
1
)(-1-
x
1
)+
=0,把
=4
x
0
代入,得(1-
x
1
)
x
0
+
+
x
1
-2=0,因为对任意的
x
0
等式恒成立,所以
所以
x
1
=1,即在
x
轴上存在定点
Q
(1,0),使
Q
在以
MN
为直径的圆上.
举一反三
若直线l:
与抛物线
交于A、B两点,O点是坐标原点。
(1)当m=-1,c=-2时,求证:OA⊥OB;
(2)若OA⊥OB,求证:直线l恒过定点;并求出这个定点坐标。
(3)当OA⊥OB时,试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何?证明你的结论。
题型:不详
难度:
|
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抛物线y=-4x
2
的焦点坐标是 ( )
A.(0,-1)
B.(-1,0)
C.(0,
)
D.(
,0)
题型:不详
难度:
|
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设抛物线
的焦点为F,准线为
,点
,线段
与抛物线交于点B,过B作
的垂线,垂足为M。若
,则
__________
题型:不详
难度:
|
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(本题满分15分)如图所示,已知椭圆
和抛物线
有公共焦点
,
的中心和
的顶点都在坐标原点,过点
的直线
与抛物线
分别相交于
两点
(1)写出抛物线
的标准方程;
(2)若
,求直线
的方程;
(3)若坐标原点
关于直线
的对称点
在抛物线
上,直线
与椭圆
有公共点,求椭圆
的长轴长的最小值.
题型:不详
难度:
|
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抛物线x
2
=y的焦点坐标是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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