（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数f(x)=x3-x ,其图像记为曲线C.（i）                              求函数f(x)的单调

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
（Ⅰ）已知函数f(x)=x³-x ,其图像记为曲线C.
（i）                              求函数f(x)的单调区间；
（ii）                            证明：若对于任意非零实数x₁ ,曲线C与其在点P₁（x₁,f(x₁)）_）处的切线交于另一点P₂（x₂,f(x₂)），曲线C与其在点P₂处的切线交于另一点P₃（x₃,f(x₃)），线段P₁ P_2, P₂ P₃与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S₁，S₂，则为定值；
（Ⅱ）对于一般的三次函数g(x)=ax³+bx²+cx+d(a 0),请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。

答案

本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。满分14分。
解法一：
（Ⅰ）（i）有f(x)=x³-x得f’(x)=3x²-1=3(x-)(x+).
当x(,)和(，)时，f’(x)>0;
当x(，)时，f’(x)<0。

（ⅱ）曲线C在点P₁处的切线方程为
y=(3x₁²-1)(x-x₁)+x₁³-x₁，
即y=(3x₁²-1)x-2 x₁³.
由
得x³-x=(3x₁²-1)x-2 x₁³
即（x-x₁）²(x+2x₁)=0,
解得 x=x₁或x=-2x₁,
故x₂=-2x₁.
进而有
用x₂代替x₁,重复上述计算过程，可得x₃= -2x₂和S₂=。
又x₂=-2x₁0，所以S₂=,因此有。
（Ⅱ）记函数g(x)=ax³+bx²+cx+d（a0）的图像为曲线C’，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于的实数x₁,曲线C’与其在点P₁（x₁, g(x₁)）处的切线交于另一点P₂（x₂, g(x₂)）,曲线C’与其在点P₂处的切线交于另一点P₃（x₃, g(x₃)），线段P₁P₂、P₂P₃
与曲线C’所围成封闭图形的面积分别记为S₁，S₂，则为定值。
证明如下：
因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y=g(x)的对称中心平移至
解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）记函数g(x)=ax³+bx²+cx+d(a0)的图像为曲线C’，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于的实数x₁,曲线C’与其在点P₁（x₁, g(x₁)）处的切线交于另一点P₂（x₂, g(x₂)）,曲线C’与其在点P₂处的切线交于另一点P₃（x₃, g(x₃)），线段P₁P₂、P₂P₃
与曲线C’所围成封闭图形的面积分别记为S₁，S₂，则为定值。
证明如下：


用x₂代替x₁，重复上述计算过程，可得x₃= 和。
又x₂=
所以
故

解析

略