如图已知抛物线的焦点坐标为,过的直线交抛物线于两点,直线分别与直线:相交于两点.(1)求抛物线的方程;(2)证明△ABO与△MNO的面积之比为定值.

如图已知抛物线的焦点坐标为,过的直线交抛物线于两点,直线分别与直线:相交于两点.(1)求抛物线的方程;(2)证明△ABO与△MNO的面积之比为定值.

题型:不详难度:来源:
如图已知抛物线的焦点坐标为,过的直线交抛物线两点,直线分别与直线相交于两点.

(1)求抛物线的方程;
(2)证明△ABO与△MNO的面积之比为定值.
答案
(1);(2)证明过程详见解析.
解析

试题分析:本题主要考查抛物线、直线的方程,以及直线与抛物线的位置关系,突出解析几何的基本思想和方法的考查:如数形结合思想、坐标化方法等.第一问,利用抛物线的标准方程,利用焦点坐标求出,代入即可;第二问,讨论直线垂直和不垂直轴2种情况,当直线垂直于轴时,2个三角形相似,面积比为定值,当直线不垂直于轴时,设出直线的方程,设出四个点坐标,利用直线与抛物线相交列出方程组,消参得到方程,利用两根之积得为定值,而面积比值与有关,所以也为定值.
试题解析:(1)由焦点坐标为 可知
所以,所以抛物线的方程为                     5分
(2)当直线垂直于轴时,相似,
所以,                        7分
当直线与轴不垂直时,设直线AB方程为,

整理得,                      9分
所以,                                        10分
,
综上                               12分
举一反三
过直角坐标平面中的抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A、B两点.
(1)求直线AB的方程;
(2)试用表示A、B之间的距离;
(3)当时,求的余弦值.
参考公式:.
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以x=-为准线的抛物线的标准方程为   (   )
A.y2=xB.y2="x" C.x2=yD.x2=y

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抛物线的的方程为,则抛物线的焦点坐标为________
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抛物线的焦点在x轴上,经过焦点且倾斜角为的直线,被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的标准方程.
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设抛物线的焦点为F,准线为,过点F作一直线与抛物线交于A、B两点,再分别过点A、B作抛物线的切线,这两条切线的交点记为P.
(1)证明:直线PA与PB相互垂直,且点P在准线上;
(2)是否存在常数,使等式恒成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
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