过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、N向直线作垂线,垂足分别为、。  (Ⅰ)当时,求证:⊥;(Ⅱ)记、 、的面积分别为、、,是否存在,使

过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、N向直线作垂线,垂足分别为、。  (Ⅰ)当时,求证:⊥;(Ⅱ)记、 、的面积分别为、、,是否存在,使

题型:不详难度:来源:
过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、N向直线作垂线,垂足分别为。  
(Ⅰ)当时,求证:
(Ⅱ)记 、的面积分别为,是否存在,使得对任意的,都有成立。若存在,求值;若不在,说明理由。
答案
(Ⅰ)略
(Ⅱ)存在,使得对任意的,都有成立,证明略
解析
解:本小题主要考察抛物线的定义和几何性质等平面解析几何的基础知识,
考查综合运用数学知识进行推理运算的能力。(12分)
依题意,可设直线MN的方程为,则有

消去x可得                     ……………2分   
从而有          ①
于是    ②
又由可得  ③…………4分   
(Ⅰ)如图1,当时,点即为抛物线的焦点,为其准线
此时 ①可得        ……………5分
证法1:
        ……………6分
证法2:
            …………6分
         
(Ⅱ)存在,使得对任意的,都有成立,证明如下:
证法1:记直线与x轴的交点为,则。于是有
                           ………8分  
   ………10分
将①、②、③代入上式化简可得

上式恒成立,即对任意成立                                                                                                                 ……………12分
证法2:如图2,连接,则由可得
,
所以直线经过原点O,同理可证直线也经过原点O  ……………9分

           …………12分
举一反三
经过抛物线的所有焦点弦中,弦长的最小值为(   )
A.pB.2pC.4pD.不确定

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已知直线与抛物线相交于两点,为抛物线的焦点,若,则的值为 ______________.
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已知离心率为e的双曲线-=1,其右焦点与抛物线y2=16x的焦点重合,则e的值为            ;  
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已知抛物线的准线与双曲线交于AB两点,点F为抛物线的焦点,若△FAB为直角三角形,则双曲线的离心率为              .
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如图,设抛物线方程为直线上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为AB
(1)求证:AMB三点的横坐标成等差数列;
(2)已知当M点的坐标为时,,求此时抛物线的方程;
(3)是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上,其中,点C满足O为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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