是否存在正方形ABCD，它的对角线AC在直线x+y-2=0上，顶点B、D在抛物线y2=4x上?若存在，试求出正方形的边长；若不存在，试说明理由.

题型：不详难度：来源：

是否存在正方形ABCD，它的对角线AC在直线x+y-2=0上，顶点B、D在抛物线y²=4x上?若存在，试求出正方形的边长；若不存在，试说明理由.

答案

不存在

解析

设存在满足题意的正方形.则BD：y=x+b,代入抛物线方程得x²+(2b-4)x+b²=0,
∴△=(2b-4)²-4b²=16-16b＞0,∴b＜1,   ①，
设B(x₁,y₁),D(x₂,y₂),BD中点M(x₀,y₀),则x₁+x₂=4-2b,
∴x₀=2-b,y₀=x₀+b=2,∵M在AC直线上，
∴(2-b)+2-2=0，∴b=2与①相矛盾，
故不存在满足要求的正方形.