解法1:(1)不妨设A,B,且, ∵,∴. ∴,.…………………4分 ∵(),即, ∴,即的取值范围为.…………………6分 (2)当时,由(1)求得.的坐标分别为.. 假设抛物线上存在点(且),…………8分 使得经过..三点的圆和抛物线在点处有相同的切线. 设经过..三点的圆的方程为, 则 整理得. ①…………9分 ∵函数的导数为, ∴抛物线在点处的切线的斜率为, ∴经过..三点的圆在点处的切线 斜率为.………10分 ∵,∴直线的斜率存在. ∵圆心的坐标为, ∴, 即. ②…………………12分 ∵,由①.②消去,得. 即. ∵,∴. 故满足题设的点存在,其坐标为.…………………14分 解法2:(1)设,两点的坐标为,且。 ∵,可得为的中点, 即.…………………2分 显然直线与轴不垂直, 设直线的方程为, 即,…………………3分 将代入中, 得. …………………4分 ∴ ∴. 故的取值范围为. …………………6分 (2)当时,由(1)求得,的坐标分别为. 假设抛物线上存在点(且), 使得经过..三点的圆和抛物线在点处有相同的切线. 设圆的圆心坐标为, ∵ ∴ 即 …………………8分 解得 …………………10分 ∵抛物线在点处切线的斜率为, 而,且该切线与垂直,∴. 即.…………………12分 将,代入上式, 得. 即 ∵且,∴. 故满足题设的点存在,其坐标为. …………………14分 |