(1)如图,在 上取点 ,使 ,连结 ,
,则 , . 因为 , ,所 以四边形 , 都为平行四边形. 从而 , . 又因为 ,所以 ,故四边形 是平行四边形, 由此推知 ,从而 . 因此, 四点共面. (2)如图, ,又 ,所以 ,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025174542-50533.gif) . 因为 ,所以 为平行四边形,从而 . 又 平面 ,所以 平面 . (3)如图,连结![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025174543-47638.gif) 因为 , , 所以 平面 ,得 . 于是 是所求的二面角的平面角,即 . 因为 ,所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025174544-40714.gif)
,
. 解法二: (1)建立如图所示的坐标系,则 , , , 所以 ,故 , , 共面.
又它们有公共点 ,所以 四点共面. (2)如图,设 ,则 , 而 ,由题设得 , 得 . 因为 , , 有 , 又 , ,所以 ,
,从而 , . 故 平面 . (3)设向量 截面 , 于是 , . 而 , ,得 ,
,解得 , ,所以 . 又 平面 , 所以 和 的夹角等于 或 ( 为锐角).
于是 . 故 . |