(Ⅰ)证明:由题意设 由得,则 所以 因此直线MA的方程为 直线MB的方程为…………………2分 所以① ② 由①、②得 因此 ,即 所以A、M、B三点的横坐标成等差数列. …………………4分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,当x0=2时, 将其代入①、②并整理得: 所以 x1、x2是方程的两根, 因此 又 所以 …………………6分 由弦长公式得 又,所以p=1或p=2, 因此所求抛物线方程为或…………………8分 (Ⅲ)解:设D(x3,y3),由题意得C(x1+ x2, y1+ y2), 则CD的中点坐标为 设直线AB的方程为 由点Q在直线AB上,并注意到点也在直线AB上, 代入得 若D(x3,y3)在抛物线上,则 因此 x3=0或x3=2x0. 即D(0,0)或 …………………10分 (1)当x0=0时,则,此时,点M(0,-2p)适合题意. ………………11分 (2)当,对于D(0,0),此时 又AB⊥CD,所以………………12分 即矛盾. 对于因为此时直线CD平行于y轴, 又 所以 直线AB与直线CD不垂直,与题设矛盾, 所以时,不存在符合题意的M点. 综上所述,仅存在一点M(0,-2p)适合题意. ………………………………14分 |