正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.

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正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y²=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.

答案

|AB|=2y₁=4

解析

如图,设正△OAB的顶点A、B在抛物线上,且它们的坐标分别为(x₁,y₁)和(x₂,y₂),则y₁²=2px₁,y₂²=2px₂,又|OA|=|OB|,

∴x₁²+y₁²=x₂²+y₂²,即x₁²-x₂²+2px₁-2px₂=0.
∴(x₁-x₂)(x₁+x₂+2p)=0.∵x₁>1,x₂>0,2p>0,∴x₁=x₂.由此可得|y₁|=|y₂|,即线段AB关于x轴对称.
由于AB垂直于x轴,且∠AOx=30°,∴

=tan30°=

.
而y₁²=2px₁,∴y₁=2

p.于是|AB|=2y₁=4

举一反三

边长为1的正△AOB,O为原点,AB⊥x轴,以O为顶点且过A、B的抛物线方程为( )
A.y²=

x B.y²=-

x C.y²=±

x D.y²=±

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一动圆的圆心在抛物线y²=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点( )

A．(4,0)

B．(2,0)

C．(0,2)

D．(0,-2)

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如图所示，抛物线y²=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为

的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.

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已知函数

（1）当

恒成立，求实数m的最大值；
（2）在曲线

上存在两点关于直线

对称，求t的取值范围；
（3）在直线

的两条切线l₁、l₂，
求证：l₁⊥l₂

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（1）求此抛物线的方程；
（2）若此抛物线方程与直线

相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，
求k的值.

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