已知动点P(x,y)到定点F(1,0)的距离比它到定直线x=-2的距离小1.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)在轨迹C上是否存在两点M、N,使这两点关于直线l:

已知动点P(x,y)到定点F(1,0)的距离比它到定直线x=-2的距离小1.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)在轨迹C上是否存在两点M、N,使这两点关于直线l:

题型:不详难度:来源:
已知动点P(x,y)到定点F(1,0)的距离比它到定直线x=-2的距离小1.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)在轨迹C上是否存在两点M、N,使这两点关于直线l:y=kx+3对称,若存在,试求出k的取值范围;若不存在,说明理由.
答案
解(1)由题意可知,动点P到定点和它到直线x=-1的距离相等,由抛物线定义知点P的轨迹是以F(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,
p
2
=1⇒p=2

∴轨迹方程为y2=4x.
(2)易知k=0时不符合题意,应舍去.
当k≠0时,设点M(
y21
4
y1),N(
y22
4
y2)
关于直线l:y=kx+3对称,MN的中点为Q(x°,y°),则
y2-y1
y22
4
-
y21
4
=-
1
k
y1+y2=-4k⇒y°=-2k

∵Q(x0,y0)在直线l上,
∴y0=kx0+3,∴x0=-
2k+3
k

∵点Q在抛物线的内部,∴y02<4x0
(-2k)2<4×(-
2k+3
k
)
k3+2k+3
k
<0
(k+1)(k2-k+3)
k
<0

k2-k+3=(k-
1
2
)2+
11
4
>0
恒成立,∴
k+1
k
<0

∴k(k+1)<0,解得-1<k<0.
∴k的取值范围是(-1,0).
举一反三
已知点F(a,0)(a>0),直线l:x=-a,点E是l上的动点,过点E垂直于y轴的直线与线段EF的垂直平分线交于点P.
(1)求点P的轨迹M的方程;
(2)若曲线M上在x轴上方的一点A的横坐标为a,过点A作两条倾斜角互补的直线,与曲线M的另一个交点分别为B、C,求证:直线BC的斜率为定值.
题型:东城区三模难度:| 查看答案
坐标平面上一点P到点A(
1
2
,0),B(a,2)及到直线x=-
1
2
的距离都相等.如果这样的点P恰好只有一个,那么实数a的值是______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程;
(2)设n是过原点的直线,l是与n垂直相交于点P,且与曲线C相交于A、B两点的直线,且|
.
OP
|=1
,问:是否存在上述直线l使
.
AP
.
PB
=1
成立?若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.
题型:临沂模拟难度:| 查看答案
是否存在同时满足下列条件的抛物线?若存在,求出它的方程;若不存在,请说明理由.
(1)准线是y轴;
(2)顶点在x轴上;
(3)点A(3,0)到此抛物线上动点P的距离最小值是2.
题型:不详难度:| 查看答案
过定点F(4,0)作直线l交y轴于Q点,过Q点作QT⊥FQ交x轴于T点,延长TQ至P点,使|QP|=|TQ|,则P点的轨迹方程是______.
题型:静安区一模难度:| 查看答案
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