如图,已知A、B、C、D分别为过抛物线y2=4x焦点F的直线与该抛物线和圆(x-1)2+y2=1的交点,则|AB|•|CD|=______.
题型:不详难度:来源:
如图,已知A、B、C、D分别为过抛物线y2=4x焦点F的直线与该抛物线和圆(x-1)2+y2=1的交点,则|AB|•|CD|=______.
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答案
若直线的斜率不存在,则直线方程为x=1,代入抛物线方程和圆的方程, 可直接得到ABCD四个点的坐标为(1,2)(1,1)(1,-1)(1,-2), 所以AB=1,CD=1, 从而|AB•CD|=1. 若直线的斜率存在,设为k,则直线方程为y=k(x-1),因为直线过抛物线的焦点(1,0) 不妨设A(xa,ya),B(xb,yb),过AB分别作抛物线准线的垂线,由抛物线的定义, |AF|=xa+1,|DF|=xb+1, 把直线方程与抛物线方程联立,消去y可得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0,由韦达定理有 xaxb=1 而抛物线的焦点F同时是已知圆的圆心,所以|BF|=|CF|=R=1 从而有|AB|=|AF|-|BF|=xa,|CD|=|DF|-|CF|=xb. 所以|AB•CD|=xaxb=1 故答案为:1 |
举一反三
一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成,尺寸如图所示(单位:m),一辆卡车空车时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽3m,车与箱共高4.5m,此车是否能通过隧道?并说明理由.
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抛物线y=ax2的准线方程为y=-1,则实数a=( ) |
已知P,Q为抛物线f(x)=上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P、Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为______. |
已知抛物线y2=4x上的一点M到焦点的距离是5,且点M在第一象限,则M的坐标为______. |
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