已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).且c-a=2-3.又双曲线C上的任意一点E满足
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已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).且c-a=2-3.又双曲线C上的任意一点E满足
题型:不详
难度:
来源:
已知双曲线
C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的两个焦点分别为F
1
(-c,0),F
2
(c,0)(c>0).且
c-a=2-
3
.又双曲线C上的任意一点E满足
||E
F
1
|-|E
F
2
||=2
3
(1)求双曲线C的方程;
(2)若双曲线C上的点P满足
P
F
1
•
P
F
2
=1,求|P
F
1
|•|P
F
2
|
的值;
(3)若直线y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线C交于不同两点M、N,且线段MN的垂直平分线过点A(0,-1),求实数m的取值范围.
答案
(1)由
||E
F
1
|-|E
F
2
||=2
3
⇒a=
3
∵c-a=2-
3
,
&∴c=2.
∴
b
2
=
c
2
-
a
2
=1.
∴双曲线C的方程为
x
2
3
-
y
2
=1
.
(2)
设|
P
F
1
|=
r
1
,|
P
F
2
|=
r
2
,不妨设
r
1
>
r
2
>0,∠
F
1
P
F
2
=θ
.
由
P
F
1
•
P
F
2
=1⇒
r
1
r
2
cosθ=1.
又
r
1
-
r
2
=2
3
⇒
r
21
+
r
22
-2
r
1
r
2
=12.
在△P
F
1
F
2
中,由余弦定理得16=
r
21
+
r
22
-2
r
1
r
2
cosθ.
∴
r
1
r
2
=3.
∴|PF
1
|•|PF
2
|=3
(3)联立
y=kx+m
x
2
3
-
y
2
=1
,整理得(1-3
k
2
)
x
2
-6kmx-3
m
2
-3=0
∵直线与双曲线有两个不同交点,
∴1-3k
2
≠0且△=12(m
2
+1-3k
2
)>0.①
设M(
x
1
,
y
1
),N(
x
2
,
y
2
),MN的中点为B(
x
0
,
y
0
),
,∴
k
AB
=
m
1-3
k
2
+1
3km
1-3
k
2
=-
1
k
(k≠0,m≠0).
整理得3k
2
=4m+1.②
将②式代入①式,得m
2
-4m>0,∴m>4或m<0.
又3
k
2
=4m+1>0(k≠0)即m>-
1
4
.
∴m的取值范围为
m>4或-
1
4
<m<0
.
举一反三
斜率为4的直线经过抛物线
x=
1
3
y
2
的焦点,则直线方程为( )
A.4x-y-6=0
B.12x-3y-1=0
C.48x-12y+1=0
D.4x-y-3=0
题型:珠海二模
难度:
|
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若A(6,m)是抛物线y
2
=2px上的点,F是抛物线的焦点,且|AF|=10,则此抛物线的焦点到准线的距离为 ______.
题型:不详
难度:
|
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过抛物线y
2
=2px(p>0)焦点F的弦AB,点A、B在抛物线准线上的射影为A
1
、B
1
,求∠A
1
FB
1
.
题型:不详
难度:
|
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对于抛物线y
2
=2x上任意一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是( )
A.[0,1]
B.(0,1)
C.(-∞,1]
D.(-∞,0)
题型:不详
难度:
|
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抛物线y
2
=2px的焦点弦AB的中点为M,A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N.
求证:
(1)A、O、D三点共线,B、O、C三点共线;
(2)FN⊥AB(F为抛物线的焦点).
题型:不详
难度:
|
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