抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点为M,A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N.求证:(1)A、O、D三点共线,B、O、C三点共线;(2)FN⊥AB(F为抛
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抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点为M,A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N. 求证: (1)A、O、D三点共线,B、O、C三点共线; (2)FN⊥AB(F为抛物线的焦点). |
答案
证明:(1)设A(x1,y1)、B(x2,y2)、中点M(x0,y0),焦点F的坐标是(,0). 由得ky2-2py-kp2=0. ∴A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N, ∴C(-,y1)、D(-,y2)、N(-,y0). ∵kOA===,kOD=, 由ky2-2py-kp2=0 得y1y2==-p2, ∴kOA=kOD,∴A、O、D三点共线.同理可证B、O、C三点共线.----(6分) (2)kFN=,当x1=x2时,显然FN⊥AB; 当x1≠x2时,kAB====, ∴kFN•kAB=-1. ∴FN⊥AB.综上所述知FN⊥AB成立.----(12分) |
举一反三
抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点M(4,4)是抛物线上一点,则经过点F,M且与l相切的圆共有______个. |
已知抛物线C:=4x的焦点为F,准线为l,点A∈l,B为直线AF与抛物线C的一个交点,若=3,则||=( ) |
在抛物线y2=4x上有两点A,B,点F是抛物线的焦点,o为坐标原点,若++=,则直线AB与x轴的交点的横坐标为( ) |
已知A,B是抛物线y2=-7x上的两点,且OA⊥OB (Ⅰ)求证:直线AB过定点,并求出定点坐标; (Ⅱ)求△AOB的面积的最小值. |
已知F是抛物线y2=4x的焦点,过点F1的直线与抛物线交于A,B两点,且|AF|=3|BF|,则线段AB的中点到该抛物线准线的距离为( ) |
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