已知抛物线方程为x2=12y,直线l过其焦点,交抛物线于A、B两点,|AB|=16.1)求抛物线的焦点坐标和准线方程;2)求A、B中点的纵坐标.
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已知抛物线方程为x2=12y,直线l过其焦点,交抛物线于A、B两点,|AB|=16. 1)求抛物线的焦点坐标和准线方程; 2)求A、B中点的纵坐标. |
答案
1)由抛物线方程为x2=12y,对比标准方程x2=2py(p>0)可得2P=12,P=6, ∴焦点F(0,3),准线方程为:y=-3…(4分) 2)(解法一)设直线l的斜率为k,设A(x1,y1),B(x2,y2),A、B的中点M(x0,y0). 则直线l的方程:y=kx+3,与抛物线联立方程组得:…(5分) ,…(7分) 消去y,整理得:x2-12kx-36=0…(9分) 方程中,△=(-12k)2-4(-36)=144k2+144>0,有两个不同的根; 由根与系数的关系得:x1+x2=12k,x1x2=-36…(10分) 又|AB|=16,即|AB|==16,…(11分) 代入,整理得:(1+k2)2=, ∴k2=…(12分) ∵M(x0,y0)在直线l上, ∴y0=kx0+3,y0=k•+3=6k2+3…(13分) ∴y0=5,即A、B中点的纵坐标为5…(14分) (解法二):设直线l的斜率为k,设A(x1,y1),B(x2,y2),A、B的中点M(x0,y0), 过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为P、Q,焦点F在弦AB上,…(5分) |FA|+|FB|=|AB|=16,…(6分) 由抛物线定义,|AP|=|AF|,|BQ|=|BF|,…(8分) 而|AP|=y1+=y1+3,…(9分) |BP|=y2+=y2+3,…(10分 ∴y1+3+y2+3=16,y1+y2=10,…(12分) y0==5…(13分) 即A、B中点的纵坐标为5…(14分) |
举一反三
斜率为1的直线与抛物线y2=x只有一个公共点,这条直线的方程是______. |
焦点在直线3x-4y-12=0上,抛物线的标准方程是______. |
已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上,且|AK|=|AF|,o是坐标原点,则|OA|=______. |
已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴正半轴上,设A、B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的中垂线恒过定点Q(6,0),求此抛物线的方程. |
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