等腰直角三角形OAB内接于抛物线y2=2px（p＞0），O是抛物线的顶点，OA⊥OB，则△OAB的面积为______．

题型：不详难度：来源：

等腰直角三角形OAB内接于抛物线y²=2px（p＞0），O是抛物线的顶点，OA⊥OB，则△OAB的面积为______．

答案

设等腰直角三角形OAB的顶点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y12=2px₁，y22=2px₂，
由OA=OB得：x12+y12=x22+y22，
∴x12-x22+2px₁-2px₂=0，即（x₁-x₂）（x₁+x₂+2p）=0，
∵x₁＞0，x₂＞0，2p＞0，
∴x₁=x₂，即A，B关于x轴对称．
∴直线OA的方程为：y=xtan45°=x，由

y2=2px y=x

解得

x=0 y=0

或

x=2p y=2p

，
故AB=4p，
∴S_△OAB=

1

2

×2p×4p=4p²．
故答案为：4p²．