已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(1,2),它们在x轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点.(1)求这三条曲线的方程;(2)对于
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已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(1,2),它们在x轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点. (1)求这三条曲线的方程; (2)对于抛物线上任意一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,求a的取值范围. |
答案
(1)设抛物线方程为y2=2px(p>0), 将M(1,2)代入方程得p=2 ∴抛物线方程为:y2=4x 由题意知椭圆、双曲线的焦点为F(-1,0)1,F2(1,0), ∴c=1 对于椭圆,2a=|MF1|+|MF2|=+=2+2 ∴a=1+⇒a2=3+2,b2=a2-c2=2+2 所以椭圆方程为+=1 对于双曲线,2a′=||MF1|-|MF2||=2-2 ∴a/=-1⇒a/2=3-2,b/2=c/2-a/2=2-2 所以双曲线方程为+=1 (2)设Q(,t) 由|PQ|≥|a|得(-a)2+t2≥a2,t2(t2+16-8a)≥0, t2+16-8a≥0,t2≥8a-16恒成立 则8a-16≤0,a≤2 ∴a∈(-∞,2] |
举一反三
抛物线y=4x2的焦点坐标是( )A.(0,1) | B.(0, ) | C.(1,0) | D.( ,0) | 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A. | B.3 | C.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025204948-75685.png) | D.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025204948-46264.png) | 在平面直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1),若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,则该抛物线的准线方程是______. | 抛物线3x2-6x+y=0的焦点到准线的距离是( ) A.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025204938-34674.png) B.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025204938-36735.png) C.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025204939-21521.png) D.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025204939-67706.png) | 设抛物线y2=4x上一点P到直线x+2=0的距离是5,则点P到抛物线焦点F的距离为______. |
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