(1)若直线l垂直于x轴,则A(,p),B(,-p).•=()2-p2=-p2.…(2分) 若直线l不垂直于轴,设其方程为y=k(x-),A(x1,y1)B(x2,y2). 由⇒k2x2-p(2+k2)x+k2=0x1+x2=p,x1•x2=.…(4分) ∴•=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-)(x2-)=(1+k2)x1x2-k2(x1+x2)+=(1+k2)-k2•+=-p2. 综上,•=-p2为定值.…(6分) (2)关于椭圆有类似的结论: 过椭圆+=1(a>0,b>0)的一个焦点F的动直线l交椭圆于A、B两点,存在定点P,使•为定值. 证明:不妨设直线l过椭圆+=1的右焦点F(c,0)(其中c=) 若直线l不垂直于轴,则设其方程为:y=k(x-c),A(x1,y1)B(x2,y2). 由⇒(a2k2+b2)x2-2a2ck2x+(a2c2k2-a2b2)=0得: 所以x1+x2=,x1•x2=.…(9分) 由对称性可知,设点P在x轴上,其坐标为(m,0). 所以•=(x1-m)(x2-m)+y1y2 =(1+k2)x1x2-(m+ck2)(x1+x2)+m2+c2k2 =(1+k2)-(m+ck2)+m2+c2k2 =(a4-a2b2-b4+a2m2-2a2cm)k2+(m2-a2)b2 | a2k2+b2 |
要使•为定值, 只要a4-a2b2-b4+a2m2-2a2cm=a2(m2-a2), 即m=== 此时•=m2-a2==…(12分) 若直线l垂直于x轴,则其方程为x=c,A(c,),B(c,-). 取点P(,0) 有•=[-c]2-=.…(13分) 综上,过焦点F(c,0)的任意直线l交椭圆于A、B两点,存在定点P(,0) 使•=.为定值.…(14分) |