试题分析:(1)两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形,可知,又在椭圆上,可得的值;(2)可得直线直线有斜率,当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴,,当直线的斜率不为时,则设的方程为,与椭圆方程联立可得,方程有两个不同的解又, 由弦长公式求出,又原点到直线的距离为,那么,可得时,取得最大值. 试题解析:(1)∵椭圆的两焦点与短轴的两个端点的连线构成正方形, ∴,∴, 2分 又∵椭圆经过点,代入可得, ∴故所求椭圆方程为 4分 (2)设因为的垂直平分线通过点,显然直线有斜率, 当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴,此时 所以,因为,所以
所以,当且仅当时,取得最大值为, 6分 当直线的斜率不为时,则设的方程为 所以,代入得到 当, 即 方程有两个不同的解又, 所以,又,化简得到 -----8分 代入,得到 又原点到直线的距离为
所以 考虑到且化简得到 10分 因为,所以当时,即时,取得最大值. 综上,面积的最大值为 12分 |