已知椭圆C:的左、右焦点分别为,离心率,连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设是直线上的不同两点,若,求的最小值.

已知椭圆C:的左、右焦点分别为,离心率,连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设是直线上的不同两点,若,求的最小值.

题型:不详难度:来源:
已知椭圆C:的左、右焦点分别为,离心率,连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设是直线上的不同两点,若,求的最小值.
答案
(1);(2)的最小值是.
解析

试题分析:(1)由离心率,四项点所成的四边形面积,可得的值. (2)由椭圆的标准方程可得点的坐标. 设.利用坐标运算,得出,又根据对称性,不妨,则.
试题解析:
解:(1)由题意得:     2分
解得:4分    所以椭圆的标准方程为: 5分
(2)由(1)知,的坐标分别为,设直线上的不同两点的坐标分别为,则
 ,由, 8分
,不妨设,则,  11分
时取等号,所以的最小值是    12分
举一反三
是任意实数,则方程所表示的曲线一定不是(    )
A.直线B.双曲线C.抛物线D.圆

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如图,已知平面内一动点到两个定点的距离之和为,线段的长为.

(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过点作直线与轨迹交于两点,且点在线段的上方,
线段的垂直平分线为.
①求的面积的最大值;
②轨迹上是否存在除外的两点关于直线对称,请说明理由.
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:的准线与轴交于点,焦点为;椭圆为焦点,离心率.设的一个交点.

(1)当时,求椭圆的方程.
(2)在(1)的条件下,直线的右焦点,与交于两点,且等于的周长,求的方程.
(3)求所有正实数,使得的边长是连续正整数.
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已知椭圆的右焦点为,短轴的端点分别为,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点,弦的垂直平分线与轴相交于点.设弦的中点为,试求的取值范围.
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已知椭圆的右焦点,长轴的左、右端点分别为,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)过焦点斜率为)的直线交椭圆两点,弦的垂直平分线与轴相交于点. 试问椭圆上是否存在点使得四边形为菱形?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
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