设:的准线与轴交于点,焦点为;椭圆以为焦点,离心率.设是的一个交点.(1)当时,求椭圆的方程.(2)在(1)的条件下,直线过的右焦点,与交于两点,且等于的周长,

设:的准线与轴交于点,焦点为;椭圆以为焦点,离心率.设是的一个交点.(1)当时,求椭圆的方程.(2)在(1)的条件下,直线过的右焦点,与交于两点,且等于的周长,

题型:不详难度:来源:
:的准线与轴交于点,焦点为;椭圆为焦点,离心率.设的一个交点.

(1)当时,求椭圆的方程.
(2)在(1)的条件下,直线的右焦点,与交于两点,且等于的周长,求的方程.
(3)求所有正实数,使得的边长是连续正整数.
答案
(1)的方程为.(2)的方程为.(3)
解析

试题分析:(1)已知焦点,即可得椭圆的故半焦距为,又已知离心率为,故可求得半长轴长为2,从而知椭圆的方程为.(2)由(1)可知的周长,即等于6. 设的方程为代入,然后利用弦长公式得一含的方程,解这个方程即得的值,从而求得直线的方程.(3)由.根据题设,将的三边用表示出来,再根据的边长是连续正整数,即可求得的值.
试题解析:(1)由条件,是椭圆的两焦点,故半焦距为,再由离心率为知半长轴长为2,从而的方程为,其右准线方程为.
(2)由(1)可知的周长.又:.
垂直于轴,易得,矛盾,故不垂直于轴,可设其方程为,与方程联立可得,从而
,
可解出,故的方程为.
(3)由.设,由于点P在椭圆上,所以;由点P在抛物线上知,,所以,所以.又.由此可得,若的边长是连续正整数,则,解之得,其对应的三边为5,6,7.
举一反三
已知椭圆的右焦点为,短轴的端点分别为,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点,弦的垂直平分线与轴相交于点.设弦的中点为,试求的取值范围.
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已知椭圆的右焦点,长轴的左、右端点分别为,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)过焦点斜率为)的直线交椭圆两点,弦的垂直平分线与轴相交于点. 试问椭圆上是否存在点使得四边形为菱形?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
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已知椭圆C:(a>b>0),过点(0,1),且离心率为
(1)求椭圆C的方程;
(2)A,B为椭圆C的左右顶点,直线lx=2x轴交于点D,点P是椭圆C上异于A,B的动点,直线AP,BP分别交直线l于E,F两点.证明:当点P在椭圆C上运动时,恒为定值.
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已知椭圆C:=1的离心率为,左焦点为F(-1,0),
(1)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线L与椭圆C交于M,N两点,若,求直线L的方程;
(2)椭圆C上是否存在三点P,E,G,使得SOPE=SOPG=SOEG
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已知顶点为原点的抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,在第一和第四象限的交点分别为.
(1)若是边长为的正三角形,求抛物线的方程;
(2)若,求椭圆的离心率.
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