如图,已知平面内一动点到两个定点、的距离之和为,线段的长为.(1)求动点的轨迹的方程;(2)过点作直线与轨迹交于、两点,且点在线段的上方,线段的垂直平分线为.①
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如图,已知平面内一动点到两个定点、的距离之和为,线段的长为.(1)求动点的轨迹的方程;(2)过点作直线与轨迹交于、两点,且点在线段的上方,线段的垂直平分线为.①
题型:不详
难度:
来源:
如图,已知平面内一动点
到两个定点
、
的距离之和为
,线段
的长为
.
(1)求动点
的轨迹
的方程;
(2)过点
作直线
与轨迹
交于
、
两点,且点
在线段
的上方,
线段
的垂直平分线为
.
①求
的面积的最大值;
②轨迹
上是否存在除
、
外的两点
、
关于直线
对称,请说明理由.
答案
(1)参考解析;(2)①
;②参考解析
解析
试题分析:(1)由于c的大小没确定,所以点A的轨迹,根据c的大小有三种情况.
(2)①由
可得点A的轨迹方程为椭圆,求
的面积的最大值即求出点A到直线
距离的最大值.即点A在椭圆的上顶点上即可.本小题通过建立三角函数同样可以求得三角形面积最大时的情况.
②当
时,显然存在除
、
外的两点
、
关于直线
对称.当直线AC不垂直于
时,不存在除
、
外的两点
、
关于直线
对称.通过假设存在,利用点差法即可得到,
.由于H,M分别是两条弦的中点,并且都被直线m平分.所以
.由
.所以不存在这样的直线.
试题解析:(1)因为
,轨迹是以
、
为焦点的椭圆,3分
(2)以线段
的中点为坐标原点,以
所在直线为
轴建立平面直角坐标系,
可得轨迹
的方程为
7分
①解法1:设
表示点
到线段
的距离
,8分
要使
的面积有最大值,只要
有最大值
当点
与椭圆的上顶点重合时,
的最大值为
10分
解法2:在椭圆
中,设
,记
点
在椭圆上,
由椭圆的定义得:
在
中,由余弦定理得:
配方,得:
从而
得
8分
根据椭圆的对称性,当
最大时,
最大
当点
与椭圆的上顶点重合时,
最大值为
10分
②结论:当
时,显然存在除
、
外的两点
、
关于直线
对称11分
下证当
与
不垂直时,不存在除
、
外的两点
、
关于直线
对称12分
证法1:假设存在这样的两个不同的点
设线段
的中点为
直线
由于
在
上,故
①
又
在椭圆上,所以有
两式相减,得
将该式写为
,
并将直线
的斜率
和线段
的中点,表示代入该表达式中,
得
②14分
①、②得
,由(1)
代入
得
即
的中点为点
,而这是不可能的.
此时不存在满足题设条件的点
和
.16分
证法2:假设存在这样的两个不同的点
,
14分
则
,故直线
经过原点.15分
直线
的斜率为
,则假设不成立,
故此时椭圆上不存在两点(除了点
、点
外)关于直线
对称16分
举一反三
设
:
的准线与
轴交于点
,焦点为
;椭圆
以
为焦点,离心率
.设
是
的一个交点.
(1)当
时,求椭圆
的方程.
(2)在(1)的条件下,直线
过
的右焦点
,与
交于
两点,且
等于
的周长,求
的方程.
(3)求所有正实数
,使得
的边长是连续正整数.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的右焦点为
,短轴的端点分别为
,且
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)过点
且斜率为
的直线
交椭圆于
两点,弦
的垂直平分线与
轴相交于点
.设弦
的中点为
,试求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的右焦点
,长轴的左、右端点分别为
,且
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)过焦点
斜率为
(
)的直线
交椭圆
于
两点,弦
的垂直平分线与
轴相交于
点. 试问椭圆
上是否存在点
使得四边形
为菱形?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
(a>b>0),过点(0,1),且离心率为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)A,B为椭圆C的左右顶点,直线
l
:
x
=2
与
x
轴交于点D,点P是椭圆C上异于A,B的动点,直线AP,BP分别交直线
l
于E,F两点.证明:当点P在椭圆C上运动时,
恒为定值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
+
=1
的离心率为
,左焦点为F(-1,0),
(1)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线L与椭圆C交于M,N两点,若
,求直线L的方程;
(2)椭圆C上是否存在三点P,E,G,使得S
△
OPE
=S
△
OPG
=S
△
OEG
=
?
题型:不详
难度:
|
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