已知椭圆的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)设不与坐标轴平行的直线与椭圆交于两点,坐标原点到直线的距离为,求面积的最大值.
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已知椭圆的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)设不与坐标轴平行的直线与椭圆交于两点,坐标原点到直线的距离为,求面积的最大值.
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
的离心率为
,短轴一个端点到右焦点的距离为
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)设不与坐标轴平行的直线
与椭圆
交于
两点,坐标原点
到直线
的距离为
,求
面积的最大值.
答案
(1)椭圆
的方程为
;(2)
面积的最大值为
.
解析
试题分析:(1)求椭圆的方程,可利用待定系数法求出
的值即可,依题意,
可得:
,从而可得
的值,即得椭圆的方程;(2)由于直线l是任意的,故可设其方程为
.根据坐标原点
到直线
的距离为
,可得
与
的关系式,从而将双参数问题变为单参数问题.将
作为底边,则
的高为常数
,所以要使
的面积最大,就只需
边最大.将
用
或
表示出来便可求得
的最大值,从而求得
的面积的最大值.
试题解析:(1)依题意,
可得:
所以,椭圆
;
(2)坐标原点
到直线
的距离为
,所以,
联立
可得:
所以,
由题意,得:
,令
,所以
,
所以,
.
举一反三
已知椭圆
与
的离心率相等. 直线
与曲线
交于
两点(
在
的左侧),与曲线
交于
两点(
在
的左侧),
为坐标原点,
.
(1)当
=
,
时,求椭圆
的方程;
(2)若
,且
和
相似,求
的值.
题型:不详
难度:
|
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抛物线
的方程为
,过抛物线
上一点
(
)作斜率为
的两条直线分别交抛物线
于
两点(
三点互不相同),且满足
(
且
).
(1)求抛物线
的焦点坐标和准线方程;
(2)设直线
上一点
,满足
,证明线段
的中点在
轴上;
(3)当
=1时,若点
的坐标为
,求
为钝角时点
的纵坐标
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在
x
轴上,长轴长是短轴长的2倍,且经过点
M
(2,1),平行于
OM
的直线
l
在
y
轴上的截距为
m
,直线
l
与椭圆相交于
A
,
B
两个不同点.
(1)求实数
m
的取值范围;
(2)证明:直线
MA
,
MB
与
x
轴围成的三角形是等腰三角形.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
C
的中心在原点,一个焦点为
F
(0,
),且长轴长与短轴长的比是
∶1.
(1)求椭圆
C
的方程;
(2)若椭圆
C
上在第一象限的一点
P
的横坐标为1,过点
P
作倾斜角互补的两条不同的直线
PA
,
PB
分别交椭圆
C
于另外两点
A
,
B
,求证:直线
AB
的斜率为定值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
E
:
=1(
a
>
b
>0),
F
1
(-
c,
0),
F
2
(
c,
0)为椭圆的两个焦点,
M
为椭圆上任意一点,且|
MF
1
|,|
F
1
F
2
|,|
MF
2
|构成等差数列,点
F
2
(
c,
0)到直线
l
:
x
=
的距离为3.
(1)求椭圆
E
的方程;
(2)若存在以原点为圆心的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆
E
恒有两个交点
A
,
B
,且
⊥
,求出该圆的方程.
题型:不详
难度:
|
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