已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(0,),且长轴长与短轴长的比是∶1. (1)求椭圆C的方程;(2)若椭圆C上在第一象限的一点P的横坐标为1,过点P作倾斜角
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已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(0,),且长轴长与短轴长的比是∶1. (1)求椭圆C的方程;(2)若椭圆C上在第一象限的一点P的横坐标为1,过点P作倾斜角
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
C
的中心在原点,一个焦点为
F
(0,
),且长轴长与短轴长的比是
∶1.
(1)求椭圆
C
的方程;
(2)若椭圆
C
上在第一象限的一点
P
的横坐标为1,过点
P
作倾斜角互补的两条不同的直线
PA
,
PB
分别交椭圆
C
于另外两点
A
,
B
,求证:直线
AB
的斜率为定值.
答案
(1)
=1(2)见解析
解析
(1)设椭圆
C
的方程为
=1(
a
>
b
>0).由题意得
解得
a
2
=4,
b
2
=2.所以椭圆
C
的方程为
=1.
(2)证明:由题意知,两直线
PA
,
PB
的斜率必存在,设
PB
的斜率为
k
.又由(1)知,
P
(1,
),则直线
PB
的方程为
y
-
=
k
(
x
-1).由
得(2+
k
2
)
x
2
+2
k
(
-
k
)
x
+(
-
k
)
2
-4=0.
设
A
(
x
A
,
y
A
),
B
(
x
B
,
y
B
),
则
x
B
=1·
x
B
=
,
同理可得
x
A
=
,
则
x
A
-
x
B
=
,
y
A
-
y
B
=-
k
(
x
A
-1)-
k
(
x
B
-1)=
.
所以
k
AB
=
=
为定值
举一反三
已知椭圆
E
:
=1(
a
>
b
>0),
F
1
(-
c,
0),
F
2
(
c,
0)为椭圆的两个焦点,
M
为椭圆上任意一点,且|
MF
1
|,|
F
1
F
2
|,|
MF
2
|构成等差数列,点
F
2
(
c,
0)到直线
l
:
x
=
的距离为3.
(1)求椭圆
E
的方程;
(2)若存在以原点为圆心的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆
E
恒有两个交点
A
,
B
,且
⊥
,求出该圆的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
C
:
=1(
a
>
b
>0)的离心率为
,其左、右焦点分别是
F
1
、
F
2
,过点
F
1
的直线
l
交椭圆
C
于
E
、
G
两点,且△
EGF
2
的周长为4
.
(1)求椭圆
C
的方程;
(2)若过点
M
(2,0)的直线与椭圆
C
相交于两点
A
、
B
,设
P
为椭圆上一点,且满足
+
=
t
(
O
为坐标原点),当|
-
|<
时,求实数
t
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的右焦点为
,设左顶点为A,上顶点为B且
,如图.
(1)求椭圆
的方程;
(2)若
,过
的直线
交椭圆于
两点,试确定
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知
的三个顶点都在抛物线
上,且抛物线的焦点
满足
,若
边上的中线所在直线
的方程为
(
为常数且
).
(1)求
的值;
(2)
为抛物线的顶点,
,
,
的面积分别记为
,
,
,求证:
为定值.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
的离心率为
,且过点
直线
与椭圆M交于A、C两点,直线
与椭圆M交于B、D两点,四边形ABCD是平行四边形
(1)求椭圆M的方程;
(2)求证:平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点O;
(3)若平行四边形ABCD为菱形,求菱形ABCD的面积的最小值
题型:不详
难度:
|
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