已知双曲线(其中).(1)若定点到双曲线上的点的最近距离为,求的值;(2)若过双曲线的左焦点,作倾斜角为的直线交双曲线于、两点,其中,是双曲线的右焦点.求△的面
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已知双曲线(其中).(1)若定点到双曲线上的点的最近距离为,求的值;(2)若过双曲线的左焦点,作倾斜角为的直线交双曲线于、两点,其中,是双曲线的右焦点.求△的面
题型:不详
难度:
来源:
已知双曲线
(其中
).
(1)若定点
到双曲线上的点的最近距离为
,求
的值;
(2)若过双曲线的左焦点
,作倾斜角为
的直线
交双曲线于
、
两点,其中
,
是双曲线的右焦点.求△
的面积
.
答案
(1)
或
;(2)
.
解析
试题分析:(1)本题涉及两点间距离,因此我们设双曲线上任一点为
,这样可表示出距离的平方
,注意到双曲线上的点
满足
,故要对
进行分类讨论以求最小值;(2)设
,
,由于
,因此
,而
可以用直线
方程与双曲线方程联立方程组,消去
可得
的一元二次方程,从这个方程可得
,从而得三角形面积.
试题解析:(1)设点
在双曲线上,由题意得:
。
由双曲线的性质,得
。 1分
(i)若
,则当
时,
有最小值。最小值
,所以
。 3分
(ii)若
,则当
时,
有最小值,此时
,解得
。 6分
(2)
,
,直线
与
轴垂直时,
,此时,△
的面积
=
. 7分
直线
与
轴不垂直时,直线
方程为
, 8分
设
,
解法1:将
代入双曲线方程,整理得:
,即
10分
所以,
11分
=
. 14分
解法2:将
代入双曲线方程,整理得:
, 10分
,
, 11分
点
到直线
距离
,
△
的面积
=
. 14分
举一反三
椭圆C的焦点在
轴上,焦距为2,直线n:x-y-1=0与椭圆C交于A、B两点,F
1
是左焦点,且
,则椭圆C的标准方程是
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线x
2
-y
2
=2若直线n的斜率为2 ,直线n与双曲线相交于A、B两点,线段AB的中点为P,
(1)求点P的坐标(x,y)满足的方程(不要求写出变量的取值范围);
(2)过双曲线的左焦点F
1
,作倾斜角为
的直线m交双曲线于M、N两点,期中
,F
2
是双曲线的右焦点,求△F
2
MN的面积S关于倾斜角
的表达式。
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线
的一条渐近线方程是
,它的一个焦点在抛物线
的准线上,点
是双曲线
右支上相异两点,且满足
为线段
的中点,直线
的斜率为
(1)求双曲线
的方程;
(2)用
表示点
的坐标;
(3)若
,
的中垂线交
轴于点
,直线
交
轴于点
,求
的面积的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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如图,椭圆
的离心率为
,
轴被曲线
截得的线段长等于
的短轴长。
与
轴的交点为
,过坐标原点
的直线
与
相交于点
,直线
分别与
相交于点
。
(1)求
、
的方程;
(2)求证:
。
(3)记
的面积分别为
,若
,求
的取值范围。
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线
x
2
-
=1.
(1)若一椭圆与该双曲线共焦点,且有一交点
P
(2,3),求椭圆方程.
(2)设(1)中椭圆的左、右顶点分别为
A
、
B
,右焦点为
F
,直线
l
为椭圆的右准线,
N
为
l
上的一动点,且在
x
轴上方,直线
AN
与椭圆交于点
M
.若
AM
=
MN
,求∠
AMB
的余弦值;
(3)设过
A
、
F
、
N
三点的圆与
y
轴交于
P
、
Q
两点,当线段
PQ
的中点为(0,9)时,求这个圆的方程.
题型:不详
难度:
|
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