如图,椭圆的离心率为,轴被曲线截得的线段长等于的短轴长。与轴的交点为,过坐标原点的直线与相交于点,直线分别与相交于点。(1)求、的方程;(2)求证:。(3)记的
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如图,椭圆的离心率为,轴被曲线截得的线段长等于的短轴长。与轴的交点为,过坐标原点的直线与相交于点,直线分别与相交于点。(1)求、的方程;(2)求证:。(3)记的
题型:不详
难度:
来源:
如图,椭圆
的离心率为
,
轴被曲线
截得的线段长等于
的短轴长。
与
轴的交点为
,过坐标原点
的直线
与
相交于点
,直线
分别与
相交于点
。
(1)求
、
的方程;
(2)求证:
。
(3)记
的面积分别为
,若
,求
的取值范围。
答案
(1)
;(2)见解析;(3)
.
解析
试题分析:(1)利用椭圆的几何性质,建立
的方程组即得;
(2)通过设直线
并联立
应用韦达定理及平面向量的坐标运算证得
,从而得到
;
(3)通过设直线
,联立方程组
,
;
联立
,
利用三角形面积公式分别计算
,用
表示,从而得到
.
试题解析:
(1)
(1分)
又
,得
(2分)
(2)设直线
则
(3分)
=0
(5分)
(3)设直线
,同理可得
(8分)
同理可得
(2分)
(13分)
举一反三
已知双曲线
x
2
-
=1.
(1)若一椭圆与该双曲线共焦点,且有一交点
P
(2,3),求椭圆方程.
(2)设(1)中椭圆的左、右顶点分别为
A
、
B
,右焦点为
F
,直线
l
为椭圆的右准线,
N
为
l
上的一动点,且在
x
轴上方,直线
AN
与椭圆交于点
M
.若
AM
=
MN
,求∠
AMB
的余弦值;
(3)设过
A
、
F
、
N
三点的圆与
y
轴交于
P
、
Q
两点,当线段
PQ
的中点为(0,9)时,求这个圆的方程.
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系
xOy
中,过点
A
(-2,-1)椭圆
C
∶
=1(
a
>
b
>0)的左焦点为
F
,短轴端点为
B
1
、
B
2
,
=2
b
2
.
(1)求
a
、
b
的值;
(2)过点
A
的直线
l
与椭圆
C
的另一交点为
Q
,与
y
轴的交点为R.过原点
O
且平行于
l
的直线与椭圆的一个交点为
P
.若
AQ
·
AR
=3
OP
2
,求直线
l
的方程.
题型:不详
难度:
|
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在直角坐标系
xOy
中,中心在原点
O
,焦点在
x
轴上的椭圆
C
上的点(2
,1)到两焦点的距离之和为4
.
(1)求椭圆
C
的方程;
(2)过椭圆
C
的右焦点
F
作直线
l
与椭圆
C
分别交于
A
,
B
两点,其中点
A
在
x
轴下方,且
=3
.求过
O
,
A
,
B
三点的圆的方程.
题型:不详
难度:
|
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如图,点
P
(0,-1)是椭圆
C
1
:
=1(
a
>
b
>0)的一个顶点,
C
1
的长轴是圆
C
2
:
x
2
+
y
2
=4的直径.
l
1
,
l
2
是过点
P
且互相垂直的两条直线,其中
l
1
交圆
C
2
于
A
,
B
两点,
l
2
交椭圆
C
1
于另一点
D
.
(1)求椭圆
C
1
的方程;
(2)求△
ABD
面积取最大值时直线
l
1
的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的焦点坐标为
F
1
(-1,0),
F
2
(1,0),过
F
2
垂直于长轴的直线交椭圆于
P
,
Q
两点,且|
PQ
|=3.
(1)求椭圆的方程;
(2)过
F
2
的直线
l
与椭圆交于不同的两点
M
,
N
,则△
F
1
MN
的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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