在直角坐标系xOy中,中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C上的点(2,1)到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程;(2)过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C分
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在直角坐标系xOy中,中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C上的点(2,1)到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程;(2)过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C分
题型:不详
难度:
来源:
在直角坐标系
xOy
中,中心在原点
O
,焦点在
x
轴上的椭圆
C
上的点(2
,1)到两焦点的距离之和为4
.
(1)求椭圆
C
的方程;
(2)过椭圆
C
的右焦点
F
作直线
l
与椭圆
C
分别交于
A
,
B
两点,其中点
A
在
x
轴下方,且
=3
.求过
O
,
A
,
B
三点的圆的方程.
答案
(1)
=1(2)
x
2
+
y
2
-
x
-
y
=0.
解析
(1)由题意,设椭圆
C
:
=1(
a
>
b
>0),则2
a
=4
,
a
=2
.
因为点(2
,1)在椭圆
=1上,所以
+
=1,解得
b
=
.
所以所求椭圆的方程为
=1.
(2)设
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
)(
y
1
<0,
y
2
>0).点
F
的坐标为
F
(3,0).
则
=3
.,得
即
①
又点
A
,
B
在椭圆
C
上,所以
解得
所以
B
,代入①,得点
A
的坐标为(2,-
).
因为
·
=0,所以
OA
⊥
AB
.
所以过
O
,
A
,
B
三点的圆就是以
OB
为直径的圆.
其方程为
x
2
+
y
2
-
x
-
y
=0.
举一反三
如图,点
P
(0,-1)是椭圆
C
1
:
=1(
a
>
b
>0)的一个顶点,
C
1
的长轴是圆
C
2
:
x
2
+
y
2
=4的直径.
l
1
,
l
2
是过点
P
且互相垂直的两条直线,其中
l
1
交圆
C
2
于
A
,
B
两点,
l
2
交椭圆
C
1
于另一点
D
.
(1)求椭圆
C
1
的方程;
(2)求△
ABD
面积取最大值时直线
l
1
的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的焦点坐标为
F
1
(-1,0),
F
2
(1,0),过
F
2
垂直于长轴的直线交椭圆于
P
,
Q
两点,且|
PQ
|=3.
(1)求椭圆的方程;
(2)过
F
2
的直线
l
与椭圆交于不同的两点
M
,
N
,则△
F
1
MN
的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,F
1
,F
2
是椭圆C
1
:
+y
2
=1与双曲线C
2
的公共焦点,A,B分别是C
1
,C
2
在第二、四象限的公共点.若四边形AF
1
BF
2
为矩形, 则C
2
的离心率是________.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知椭圆
的离心率是
,
分别是椭圆
的左、右两个顶点,点
是椭圆
的右焦点。点
是
轴上位于
右侧的一点,且满足
.
(1)求椭圆
的方程以及点
的坐标;
(2)过点
作
轴的垂线
,再作直线
与椭圆
有且仅有一个公共点
,直线
交直线
于点
.求证:以线段
为直径的圆恒过定点,并求出定点的坐标.
题型:不详
难度:
|
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在
中,
,给出
满足的条件,就能得到动点
的轨迹方程,下表给出了一些条件及方程:
条件
方程
①
周长为10
②
面积为10
③
中,
则满足条件①、②、③的点
轨迹方程按顺序分别是
A.
、
、
B.
、
、
C.
、
、
D.
、
、
题型:不详
难度:
|
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