已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，

题型：不详难度：来源：

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围.

答案

（Ⅰ）（Ⅱ）

解析

试题分析：（Ⅰ）本小题通过告诉两个条件.到焦点最长和最短的焦半径，即可求得所求的椭圆方程.本小题的已知条件要记清不要混淆.（Ⅱ）本小题是直线与椭圆的关系，常用的方法就是联立方程，判别式大于零，韦达定理.再根据弦MN的中垂线恒过一点.根据中点，定点，斜率其中的两个条件所以可以写出垂直平分线的直线方程.再将另一个代入就可得到一个关于k,m的等式.再结合判别式得到不等式即可得到k的取值范围.本题的运算量较大些.要认真做到“步步为赢”.
试题解析：(I)由题意设椭圆的标准方程为
，
       4分
（Ⅱ）设
由
消去并整理得 6分
∵直线与椭圆有两个交点
，即 8分
又
中点的坐标为 10分
设的垂直平分线方程：
在上

即
 12分
将上式代入得

即或
的取值范围为 14分