椭圆以坐标轴为对称轴,且经过点、.记其上顶点为,右顶点为.(1)求圆心在线段上,且与坐标轴相切于椭圆焦点的圆的方程;(2)在椭圆位于第一象限的弧上求一点,使的面

椭圆以坐标轴为对称轴,且经过点、.记其上顶点为,右顶点为.(1)求圆心在线段上,且与坐标轴相切于椭圆焦点的圆的方程;(2)在椭圆位于第一象限的弧上求一点,使的面

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椭圆以坐标轴为对称轴,且经过点.记其上顶点为,右顶点为.
(1)求圆心在线段上,且与坐标轴相切于椭圆焦点的圆的方程;
(2)在椭圆位于第一象限的弧上求一点,使的面积最大.
答案
(1)圆的方程为
(2)当点的坐标为的面积最大.
解析

试题分析:(1)先将椭圆的方程为,利用待定系数法求出椭圆的方程,并求出椭圆的焦点坐标,利用圆与坐标轴相切于焦点,且圆心在线段上,从而求出圆心的坐标以及圆的半径,进而求出圆的方程;(2)法一是根据参数方程法假设点的坐标,并计算出点到线段的距离和线段的长度,然后以为底边,的高计算的面积的代数式,并根据代数式求出的面积的最大值并确定点的坐标;法二是利用的面积取最大值时,点处的切线与线段平行,将切线与椭圆的方程联立,利用确定切线的方程,进而求出点的坐标.
试题解析:(1)设椭圆的方程为,则有,解得
故椭圆的方程为,故上顶点,右顶点
则线段的方程为,即
由于圆与坐标轴相切于椭圆的焦点,且椭圆的左焦点为,右焦点为
若圆与坐标轴相切于点,则圆心在直线上,此时直线与线段无交点,
若圆与坐标轴相切于点,则圆心在直线上,联立,解得
即圆的圆心坐标为,半径长为
故圆的方程为
(2)法一:设点的坐标为,且
到线段的距离 

,则,故,故
,而

故当时,即当时,的面积取到最大值为
此时点的坐标为
法二:设与平行的直线为
当此直线与椭圆相切于第一象限时,切点即所求点,
得:
令①中,有:
又直线过第一象限,故,解得
此时由①有
代入椭圆方程,取,解得.故.
举一反三
如图示:已知抛物线的焦点为,过点作直线交抛物线两点,经过两点分别作抛物线的切线,切线相交于点.

(1)当点在第二象限,且到准线距离为时,求
(2)证明:.
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已知圆,若椭圆的右顶点为圆的圆心,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若存在直线,使得直线与椭圆分别交于两点,与圆分别交于两点,点在线段上,且,求圆的半径的取值范围.
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已知椭圆的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知动直线与椭圆相交于两点. ①若线段中点的横坐标为,求斜率的值;②若点,求证:为定值.
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过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是坐标原点,若,则△的面积为(  )
A.B.C.D.

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已知椭圆的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形.

(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点的直线与椭圆相交于两点.点,记直线的斜率分别为,当最大时,求直线的方程.
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