试题分析:(1)先利用抛物线的定义求出点 的坐标,然后利用直线 过点 和点 求出直线 的方程,然后将直线 和抛物线的方程联立,利用韦达定理与抛物线的定义求出弦 的长;(2)先求出曲线 在点 和点 的切线方程,并求出两切线的交点 的坐标,验证 进而得到 . 试题解析:(1)抛物线 的方程为 ,则其焦点坐标为 , 设点 , ,则有 , 由于点 在第二象限,则 ,将 代入 得, ,解得 , 故点 的坐标为 ,故直线 的方程为 ,变形得 , 代入抛物线的方程并化简得 ,由韦达定理得 ,
; (2)设直线 的方程为 ,将 代入抛物线的方程并化简得 ,
对任意 恒成立, 由韦达定理得 , , 将抛物线的方程化为函数解析式得, ,则 , 故曲线 在点 处的切线方程为 ,即 ,即 ①, 同理可知,曲线 在点 处的切线方程为 ②, 联立①②得, ,故点 的坐标为 , , 而 ,
, . |