如图示:已知抛物线的焦点为,过点作直线交抛物线于、两点,经过、两点分别作抛物线的切线、,切线与相交于点.(1)当点在第二象限,且到准线距离为时,求;(2)证明:

如图示:已知抛物线的焦点为,过点作直线交抛物线于、两点,经过、两点分别作抛物线的切线、,切线与相交于点.(1)当点在第二象限,且到准线距离为时,求;(2)证明:

题型:不详难度:来源:
如图示:已知抛物线的焦点为,过点作直线交抛物线两点,经过两点分别作抛物线的切线,切线相交于点.

(1)当点在第二象限,且到准线距离为时,求
(2)证明:.
答案
(1);(2)详见解析.
解析

试题分析:(1)先利用抛物线的定义求出点的坐标,然后利用直线过点和点求出直线的方程,然后将直线和抛物线的方程联立,利用韦达定理与抛物线的定义求出弦的长;(2)先求出曲线在点和点的切线方程,并求出两切线的交点的坐标,验证进而得到.
试题解析:(1)抛物线的方程为,则其焦点坐标为
设点,则有
由于点在第二象限,则,将代入得,,解得
故点的坐标为,故直线的方程为,变形得
代入抛物线的方程并化简得,由韦达定理得

(2)设直线的方程为,将代入抛物线的方程并化简得
对任意恒成立,
由韦达定理得
将抛物线的方程化为函数解析式得,,则
故曲线在点处的切线方程为,即,即①,
同理可知,曲线在点处的切线方程为②,
联立①②得,,故点的坐标为

.
举一反三
已知圆,若椭圆的右顶点为圆的圆心,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若存在直线,使得直线与椭圆分别交于两点,与圆分别交于两点,点在线段上,且,求圆的半径的取值范围.
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已知椭圆的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知动直线与椭圆相交于两点. ①若线段中点的横坐标为,求斜率的值;②若点,求证:为定值.
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过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是坐标原点,若,则△的面积为(  )
A.B.C.D.

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已知椭圆的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形.

(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点的直线与椭圆相交于两点.点,记直线的斜率分别为,当最大时,求直线的方程.
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曲线在矩阵的变换作用下得到曲线
(Ⅰ)求矩阵
(Ⅱ)求矩阵的特征值及对应的一个特征向量.
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