在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.(Ⅰ)求圆C的方程;(Ⅱ)试判断是否存在斜率为1的直线,使其与圆C交于A, B两点,且O

在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.(Ⅰ)求圆C的方程;(Ⅱ)试判断是否存在斜率为1的直线,使其与圆C交于A, B两点,且O

题型:不详难度:来源:
在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)试判断是否存在斜率为1的直线,使其与圆C交于A, B两点,且OA⊥OB,若存在,求出该直线方程,若不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ).(Ⅱ)该直线存在,其方程为.
解析

试题分析:(Ⅰ)曲线轴的交点为
轴的交点为
故可设的圆心为
则有
解得
则圆的半径为
所以圆的方程为               4分
(Ⅱ)假设直线存在,依题意,设直线方程为
并设
,消去
得到方程
由已知可得,判别式
因此,
从而   ①
由于,可得

所以    ②
由①,②得,满足
所以该直线存在,其方程为           8分
点评:中档题,中档题,曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。恰当的运用圆中的“特征三角形”,转化成点到直线的距离问题,更为简洁。对存在性问题,常常是先假设存在,应用已知条件,确定其存在性,达到解体目的。本题较难。
举一反三
已知为双曲线C:的左、右焦点,点P在C上,,则=                   
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过直线上一点作圆的切线,若关于直线对称,则点到圆心的距离为     .
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已知定点,动点到定点距离与到定点的距离的比值是.
(Ⅰ)求动点的轨迹方程,并说明方程表示的曲线;
(Ⅱ)当时,记动点的轨迹为曲线.
①若是圆上任意一点,过作曲线的切线,切点是,求的取值范围;
②已知是曲线上不同的两点,对于定点,有.试问无论两点的位置怎样,直线能恒和一个定圆相切吗?若能,求出这个定圆的方程;若不能,请说明理由.
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(5分)抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是(  )
A.B.C.1D.

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(13分)已知椭圆C:(a>b>0)的两个焦点分别为F1(﹣1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点
(I)求椭圆C的离心率:
(II)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M,N两点,点Q是线段MN上的点,且,求点Q的轨迹方程.
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