设椭圆的左焦点为，直线与轴交于点，过点且倾斜角为30°的直线交椭圆于两点．（Ⅰ）求直线和椭圆的方程；（Ⅱ）求证：点在以线段为直径的圆上；（Ⅲ）在直线上有两个不重

题型：不详难度：来源：

设椭圆的左焦点为，直线与轴交于点，过点且倾斜角为30°的直线交椭圆于两点．
（Ⅰ）求直线和椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：点在以线段为直径的圆上；
（Ⅲ）在直线上有两个不重合的动点，以为直径且过点的所有圆中，求面积最小的圆的半径长．

答案

（1）
（2）（2）把直线与椭圆方程联立，消去y，设出A，B的坐标，则可求得x₁+x₂=-3x₁x₂，进而分别表示出F₁A和AF₁B斜率，进而求得k_F1A•k_F1B的值
（3）

解析

试题分析：解: (Ⅰ)可知直线              2分
由,,解得,
所以，椭圆的方程为．             4分
(Ⅱ)联立方程组  整理得:,
设,则,
因为,所以


所以点在以线段为直径的圆上．            10分
(3)面积最小的圆的半径长应是点 到直线的距离．  11分
设为 即面积最小的圆的半径长为   13分
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．