已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1、F2，以线段F1F2为边作正△F1F2M，若椭圆与双曲线的一个交点P恰好是MF1的中点，设椭圆和双曲线的离心率分别为等于A．5

题型：不详难度：来源：

已知椭圆

和双曲线

有相同的焦点F₁、F₂，以线段F₁F₂为边作正△F₁F₂M，若椭圆与双曲线的一个交点P恰好是MF₁的中点，设椭圆和双曲线的离心率分别为

等于

A．5

B．2

C．3

D．4

答案

解析

试题分析：根据题意，由于椭圆

和双曲线

有相同的焦点F₁、F₂，则可知

，同时以线段F₁F₂为边作正△F₁F₂M，有椭圆与双曲线的一个交点P恰好是MF₁的中点，则可利用椭圆的定义以及双曲线的定义得到椭圆和双曲线的离心率分别为

=2，故选B.
点评：主要是考查椭圆与双曲线的方程与性质的运用，属于中档题。

举一反三

如图，己知直线l与抛物线

相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，定点B（2，0）．

（1）若动点M满足

，求点M轨迹C的方程：
（2）若过点B的直线

（斜率不为零）与（1）中的轨迹C交于不同的两点E，F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．

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已知椭圆

和圆

：

，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A,B．

（1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e的值；
（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得

，求椭圆离心率e的取值范围；
（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，问当点P在椭圆上运动时，

是否为定值？请证明你的结论．

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设中心在原点的双曲线与椭圆

+y²=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是　　．

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过点P（1，1）的直线将圆x²+y²=4分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则该直线的方程为　　．

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已知椭圆E：

的离心率为

，右焦点为F，且椭圆E上的点到点F距离的最小值为2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点A的直线l与椭圆E及直线x=8分别相交于点M，N．
（ⅰ）当过A，F，N三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；
（ⅱ）若

，求△ABM的面积．

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